已知一次函数y=kx+b的图像经过点P（1 , 4），且分别与x轴、y轴交于点A、B当△AOB的面积最小时，求k、b的值

Question

如题所述

Answer 1

由函数可知，当一次函数与x轴相交时，交点A的纵坐标必为0，所以A点坐标为（-b/k,0）。同理B点坐标为(0,b)，由三角形的面积公式可知，三角形的面积为：
1/2
×
-b/k的绝对值
×
b
的绝对值
已知一次函数y=kx+b的图像经过点P（1
,
4），把坐标带入函数式中，则k+b=4，即b=4-k。代入上式：
1/2
×（k-4)^2/k的绝对值=1/2
×（k+
16/k
-
8)的绝对值
，当k=16/k时，面积最小，即k=±4
k=4时，b=0，此时A，B两点重合，三角形面积为0。
k=-4时，b=8，三角形面积为8。
因题目未明说，所以本题该舍掉其中那个答案，楼主自己判断！

Answer 2

A(-b/k,0)
B(0,b)
且k+b=4,即b=4-k
△AOB的面积=|-b²/(2k)|=|(4-k)²/(2k)|=|8/k+k/2-4|≥2当且仅当k=4时，取最小值（这个部分用到重要不等式了，初中学生不会的）
所以b=0
回头再想想，
△AOB的面积最小，就是0啊，一次函数变成正比例函数。

Answer 3

画图易知：s=-b^2/k
,由题有k+b=4,将b=4-k带入s
,得s=-16/k-k+8,由于k肯定为负数，为了方便，我们将-k表示为n，所以s=16/n+n+8
所以s>=2倍根号下16/n*n在加上8，结果为s>=8+8=16
所以面积最小为16
，将s=16带入s=16/n+n+8可以求出n=4，所以最后结果为
k=-4
b=8