已知sinα+sinβ=1/2,cosα+cosβ=1/3,求cos²α-β/2的值

Question

如题所述

Answer 1

求cos²α-β/2的值，是求cos²{(α-β)/2}的值吗?

cos(α-β) = cos²{(α-β)/2} - sin²{(α-β)/2} = 2 cos²{(α-β)/2} - 1

sinα+sinβ=1/2
(sinα+sinβ)² = 1/4
sin²α + 2 sinα sinβ + sin²β = 1/4
sinα sinβ = 1/8 - (sin²α + sin²β)/2

cosα+cosβ=1/3
(cosα+cosβ)² = 1/9
cos²α + 2 cosα cosβ + cos²β = 1/9
cosα cosβ = 1/18 - (cos²α + cos²β)/2

∴ cos²{(α-β)/2}
= 1/2 + cos(α-β) / 2
= 1/2 + (cosα cosβ + sinα sinβ) / 2
= 1/2 + {1/18 - (cos²α + cos²β)/2 + 1/8 - (sin²α + sin²β)/2}/2
= 1/2 + {1/18 + 1/8 - (cos²α + cos²β + sin²α + sin²β)/2}/2
= 1/2 + {1/18 + 1/8 - 1}/2
= 1/2 + 1/36 + 1/16 - 1/2
= 1/36 + 1/16 = 13/144

Answer 2

sinα+sinβ=1/2两边平方得
sin^2α+2sinαsinβ+sin^2β=1/4　①
cosα+cosβ=1/3两边平方得
cos^2α+2cosαcosβ+cos^2β=1/9　②
①+②得
(sin^2α+cos^2α)+2(cosαcosβ+sinαsinβ)+(sin^2β+cos^2β)=1/4+1/9
即有1+2cos(α-β)+1=1/4+1/9
cos(α-β)= -59/72
所以
cos²(α-β)/2=[1+cos(α-β)]/2
=[1+（-59/72）]/2
=13/144

Answer 3

cos²α-β/2是cos²[（α-β）/2]吧。

(sinα+sinβ)²+(cosα+cosβ)²=(1/2)²+(1/3)²
sin²α+sin²β+2sinαsinβ+cos²α+cos²β+2cosαcosβ=1/4+1/9
2+2(cosαcosβ+sinαsinβ)=13/36
1+cos(α-β)=13/72
1+2cos²[(α-β)/2]-1=13/72
cos²[(α-β)/2]=13/144

Answer 4

解：sinα+sinβ=1/2,cosα+cosβ=1/3两式两边平方再相加有
2+2cos(a-β)=13/36
∴cos(a-β)=-59/72
∴cos²(α-β)/2=[1+cos(a-β)]/2=13/144