为什么求幂级数的和函数要从零开始积分（先微分再积分）？

Question

如题所述

Answer 1

一是方便计算, 二是幂级数在0点都收敛, 而且和函数在0点的值一眼可以看出. 其实选择其他收敛域中的点也可以追问

和函数的值只有一个，任意取收敛域中的点不就有了好几个值？

追答

不会的, 算出来的结果完全一样
s(x)-s(0)=积分[0,x] s'(x)dx
与s(x)-s(1)=积分[1,x] s'(x)dx
是一样的, 都是牛顿莱布尼茨公式

追问

s(0)和s（1）的值不同啊

追答

但是s(1)=s(0)+积分[0,1] s'(x)dx
注意我给的两个式子两边的积分下限不同的, 虽然s(1)不等于s(0), 但是两个式子都是对的

追问

比如说s(x)=积分[0，x]1/（1-x)dx=-ln(1-x),去不同的积分下限就有不同的值

追答

但是左边不同的, 一个是s(x)-s(0), 一个是s(x)-s(1), 事实上
s(x)=s(0)+积分[0,x] s'(x)dx
同时s(x)=s(1)+积分[1,x] s'(x)dx