正交矩阵中列向量正交，为什么行向量一定正交

Question

如题所述

Answer 1

若已知A为正交矩阵，且A的列向量正交，则A^TA=E，从而A^T=A^（-1），所以AA^（-1）=AA^T=E，即A的行向量也一定正交

Answer 2

A是正交矩阵

A^TA=E(定义)

A的行(列)向量两两正交且是单位向量(定理)

将A按列分块为A=(a1,...,an)

由A^TA=E得ai^Taj=1(i=j),0(i≠j)

所以列向量ai是单位向量,且两两正交

同理由AA^T=E可得A的行向量也是两两正交的单位向量

扩展资料

如果：AAT=E（E为单位矩阵，AT表示“矩阵A的转置矩阵”。）或ATA=E，则n阶实矩阵A称为正交矩阵，若A为正交阵，则满足以下条件:

1)AT是正交矩阵

2)（E为单位矩阵）

3)AT的各行是单位向量且两两正交

4)AT的各列是单位向量且两两正交

5)(Ax,Ay)=(x,y)x,y∈R

6)|A|=1或-1

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