第1个回答 2024-03-18
数学期望E(X)和方差D(X)是概率论和数理统计中的两个重要概念，用于描述随机变量的数字特征。
数学期望E(X)的求法：
数学期望E(X)反映了随机变量X取值的平均水平。对于离散型随机变量，数学期望E(X)等于X的所有可能取值与其对应的概率的乘积之和。对于连续型随机变量，数学期望E(X)则是X的概率密度函数与X的乘积在整个实数范围内的积分。
公式表示为：
* 离散型：\(E(X) = \sum x_i p_i\)，其中\(x_i\)是X的可能取值，\(p_i\)是\(x_i\)对应的概率。
* 连续型：\(E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} xf(x) dx\)，其中\(f(x)\)是X的概率密度函数。
方差D(X)的求法：
方差D(X)描述了随机变量X的取值与其数学期望E(X)的偏离程度。方差越大，说明X的取值越分散；方差越小，说明X的取值越集中。
方差的计算公式为：
* 离散型：\(D(X) = \sum [x_i - E(X)]^2 p_i\)，其中\(x_i\)是X的可能取值，\(p_i\)是\(x_i\)对应的概率，\(E(X)\)是X的数学期望。
* 连续型：\(D(X) = \int_{-\infty}^{\infty} [x - E(X)]^2 f(x) dx\)，其中\(f(x)\)是X的概率密度函数，\(E(X)\)是X的数学期望。
举例说明：
假设有一个离散型随机变量X，它有三个可能的取值：1、2、3，对应的概率分别为0.2、0.5、0.3。
* 首先计算数学期望E(X)：\(E(X) = 1 \times 0.2 + 2 \times 0.5 + 3 \times 0.3 = 0.2 + 1 + 0.9 = 2.1\)。
* 然后计算方差D(X)：\(D(X) = (1 - 2.1)^2 \times 0.2 + (2 - 2.1)^2 \times 0.5 + (3 - 2.1)^2 \times 0.3 = 0.243\)。
这个例子说明，随机变量X的平均取值是2.1，而其取值的分散程度（方差）为0.243。详情
第2个回答 2024-03-19
概率的期望值（也称为均值或数学期望）和方差是衡量随机变量两个重要统计特性的方式。以下是计算方法：
1. **期望值（期望）**：
- 对于离散随机变量 \( X \)，其期望值 \( E(X) \) 计算如下：
\[ E(X) = \sum x_i P(X = x_i) \]
其中 \( x_i \) 是可能的取值，\( P(X = x_i) \) 是对应取值的概率。
- 对于连续随机变量 \( X \)，其期望值 \( E(X) \) 计算如下（根据概率密度函数 \( f(x) \)）：
\[ E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x \cdot f(x) \, dx \]
2. **方差**：
- 方差是衡量随机变量离其期望值的偏离程度。对于离散随机变量 \( X \)，方差 \( Var(X) \) 计算为：
\[ Var(X) = E[(X - E(X))^2] = \sum (x_i - E(X))^2 \cdot P(X = x_i) \]
- 对于连续随机变量 \( X \)，方差 \( Var(X) \) 计算为：
\[ Var(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} (x - E(X))^2 \cdot f(x) \, dx \]
- 或者使用期望的平方减去期望的平方：
\[ Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 \]
其中 \( E(X^2) \) 是随机变量 \( X \) 的二次期望。
注意，方差的平方根被称为标准差，它是方差的一个更直观的度量，因为它以原始变量的单位给出。
在实际计算中，你可能需要用到特定的概率分布（如正态分布、二项分布、泊松分布等）的期望和方差公式，因为这些分布有特定的性质简化了计算。