用数学归纳法证明这道题

Question

用数学归纳法证明这道题注意(n)是n阶导数 详细过程非常感谢😭😭

Answer 1

(1)n=1时
[e^(1/x)]'=e^(1/x)·(1/x)'
=-1/x^2·e^(1/x)
所以，等式成立。

(2)假设n=k时，结论成立，
即：
[x^(k-1)·e^(1/x)]^{k}
=(-1)^k·e^(1/x)/x^(k+1)

根据莱布尼兹公式：
[x^(k)·e^(1/x)]^{k+1}
=[x·x^(k-1)·e^(1/x)]^{k+1}

=x·[x^(k-1)·e^(1/x)]^{k+1}
+(k+1)·x'·[x^(k-1)·e^(1/x)]^{k}

=x·[(-1)^k·e^(1/x)/x^(k+1)]'
+(k+1)·(-1)^k·e^(1/x)/x^(k+1)

=x·(-1)^k·[e^(1/x)·x^(-k-1)]'
+(k+1)·(-1)^k·e^(1/x)/x^(k+1)

=x·(-1)^k·e^(1/x)·(1/x)'·x^(-k-1)
+x·(-1)^k·e^(1/x)·[x^(-k-1)]'
+(k+1)·(-1)^k·e^(1/x)/x^(k+1)

=x·(-1)^k·e^(1/x)·(-1/x^2)·x^(-k-1)
+x·(-1)^k·e^(1/x)·(-k-1)·x^(-k-2)
+(k+1)·(-1)^k·e^(1/x)/x^(k+1)

=-(-1)^k·e^(1/x)·x^(-k-2)
+(-1)^k·e^(1/x)·(-k-1)·x^(-k-1)
+(k+1)·(-1)^k·e^(1/x)/x^(k+1)

=(-1)^(k+1)·e^(1/x)/x^(k+2)
-(-1)^k·e^(1/x)·(k+1)/x^(k+1)
+(k+1)·(-1)^k·e^(1/x)/x^(k+1)

=(-1)^(k+1)·e^(1/x)/x^(k+2)

∴n=k+1时，结论也成立

∴结论对一切正整数n都成立。