不定积分三角函数换元问题

Question

在不定积分中，遇到（1-x^2)^1/2时，设x=sect，有时候t的范围是(0,π/2)有时候又是(0,π/2)U(π/2,π)，不应该都是(0,π/2)U(π/2,π)吗？而且，如果仅仅设为(0,π/2)，如何通过仅仅求x>0时的情况解决x<0时的情况？谢谢了

Answer 1

x=sint,t∈[-π/2,π/2]
∫√(1-x²)dx
=∫costdsint
=∫cos²tdt
=tcos²t+∫sin2tdt
=tcos²t-cos2t/2+c
=t-tsin²t+sin²t-1/2+c
=(1-x²)arcsinx+x²+c'

Answer 2

（1-x^2)^1/2时，设x=sect太麻烦
应设x=sint (-π/2,π/2)
或x=cost (π,0) 方便
计算就不用说了