怎样通俗易懂地解释卷积?

Question

如题所述

Answer 1

对卷积的意义的理解：

从“积”的过程可以看到，我们得到的叠加值，是个全局的概念。以信号分析为例，卷积的结果是不仅跟当前时刻输入信号的响应值有关，也跟过去所有时刻输入信号的响应都有关系，考虑了对过去的所有输入的效果的累积。在图像处理的中，卷积处理的结果，其实就是把每个像素周边的，甚至是整个图像的像素都考虑进来，对当前像素进行某种加权处理。所以说，“积”是全局概念，或者说是一种“混合”，把两个函数在时间或者空间上进行混合。

那为什么要进行“卷”？直接相乘不好吗？我的理解，进行“卷”（翻转）的目的其实是施加一种约束，它指定了在“积”的时候以什么为参照。在信号分析的场景，它指定了在哪个特定时间点的前后进行“积”，在空间分析的场景，它指定了在哪个位置的周边进行累积处理。

例1：信号分析

如下图所示，输入信号是 f(t) ，是随时间变化的。系统响应函数是 g(t) ，图中的响应函数是随时间指数下降的，它的物理意义是说：如果在 t=0 的时刻有一个输入，那么随着时间的流逝，这个输入将不断衰减。换言之，到了 t=T时刻，原来在 t=0 时刻的输入f(0)的值将衰减为f(0)g(T)。

Answer 2

虽然以前读的是数学，但是在信号与系统的课程里面经常讲到卷积(convolution)。至于最近大火的深度学习，更有专门的卷积神经网络(Convolutional Neural Network, CNN)，在图像领域取得了非常好的实际效果，已经把传统的图像处理的方法快干趴下了。

说了这么多卷积，其实很好理解。不过最近在网上查了下其他的理解，发现解释的很生动，我在这里简单总结下。

在物理上的理解就是：在线性时不变的系统中，输出信号：就是输入信号在每个位置加权单位响应的叠加和。举个例子，在2015中国计算机大会特邀报告上，中国人工智能学会理事长李德毅院士的主题报告。在报告中提到了卷积的理解问题，非常有意思。

他讲到，什么叫卷积呢？举例来说，在一根铁丝某处不停地弯曲，假设发热函数是f(t) ，散热函数是 g(t) ，此时此刻的温度就是 f(t) 跟g(t)的卷积。在一个特定环境下，发声体的声源函数是f(t) ，该环境下对声源的反射效应函数是 g(t) ，那么这个环境下的接受到声音就是 f(t) 和 g(t) 的卷积。

Answer 3

1、教科书

一般定义函数f，g  的卷积 f*g(n)  如下：

连续形式：

离散形式：

先对g函数进行翻转，相当于在数轴上把g函数从右边褶到左边去，也就是卷积的“卷”的由来。然后再把g函数平移到n，在这个位置对两个函数的对应点相乘，然后相加，这个过程是卷积的“积”的过程。

2、图像处理应用

对卷积这个名词的理解：所谓两个函数的卷积，本质上就是先将一个函数翻转，然后进行滑动叠加。在连续情况下，叠加指的是对两个函数的乘积求积分，在离散情况下就是加权求和，为简单起见就统一称为叠加。

整体过程：翻转——>滑动——>叠加——>滑动——>叠加——>滑动——>叠加.....

多次滑动得到的一系列叠加值，构成了卷积函数。

（1）卷积的“卷”，指的的函数的翻转，从 g(t) 变成 g(-t) 的这个过程；同时，“卷”还有滑动的意味在里面（吸取了网友李文清的建议）。如果把卷积翻译为“褶积”，那么这个“褶”字就只有翻转的含义了。

（2）卷积的“积”，指的是积分/加权求和。

3、图像锐化（卷积核）

（1）啥也不做

得到的图像和原图是一样的。因为只有中心点的值是1。邻域点的权值都是0，对滤波后的取值没有任何影响。

（2）图像的锐化是首先找到边缘，然后把边缘加到原来的图像上面，这样就强化了图像的边缘，这样得到图像就会和原始的图像具有同样的亮度了，但是会更加锐利。

（3）下面的滤波器会更强调边缘

Answer 4

卷积这个名词的理解：所谓两个函数的卷积，本质上就是先将一个函数翻转，然后进行滑动叠加。
在连续情况下，叠加指的是对两个函数的乘积求积分，在离散情况下就是加权求和，为简单起见就统一称为叠加。
整体看来是这么个过程：
翻转——>滑动——>叠加——>滑动——>叠加——>滑动——>叠加.....
多次滑动得到的一系列叠加值，构成了卷积函数。

Answer 5

在泛函分析中，卷积、旋积或摺积(英语：Convolution)是通过两个函数f 和g 生成第三个函数的一种数学算子，表征函数f 与g经过翻转和平移的重叠部分的面积。如果将参加卷积的一个函数看作区间的指示函数，卷积还可以被看作是“滑动平均”的推广。