已知数列{An}满足A1=1，n(An+1-2An)=2An,求数列{An}的通项公式.

Question

如题所述

Answer 1

An+1=2(n+1)An/n
A1=1=1!*2^(1-1)/0!
A2=2*2/1=2!2^(2-1)/1!

A3=2*3*2*2/(1*2)=3!2^(3-1)/2!
A4=(2*4*2*3*2*2)/(1*2*3)=4!2^(4-1)/3!
A5=(2*5*2*4*2*3*2*2)/(1*2*3*4)=5!2^(5-1)/4!
........
可设An=[n!*2^(n-1)]/(n-1)!
=n*2^(n-1)
用归纳法可证之！
A1=1成立
Ak=k*2^(k-1)
Ak+1=2(k+1)Ak/k
=2(k+1)*k*2^(k-1)/k
=(k+1)*2^[(K+1)-1]
成立。
证毕。
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Answer 2

解： a(n+1)=2an/(an+2) 1/a(n+1)=(an+2)/(2an)=1/an+1/2 1/a(n+1)-1/an=1/2，为定值。 1/a1=1/1=1 数列{1/an}是以1为首项，1/2为公差的等差数列。 1/an=1/a1+(n-1)(1/2)=1+(n-1)/2=(n+1)/2 an=2/(n+1) n=1时，a1=2/(1+1)=1，同样满足。

Answer 3

n(An+1-An)=2An
An+1/An=n+2/n
An+2/An·An+1/An-1·An/An-2·……·A5/A3·A4/A2·A3/A1
=n+2/n·n+1/n-1·n/n-2·……·5/3·4/2·3/1
=n+1/2

Answer 4

对式子两边进行求倒数得2/a(n+1)=2/an+1，2/a1=2，d=1
所以数列｛2/an｝是以2为首项，1为公差的
等差数列
故而2/an=2+（n-1）*1=n+1
所以an=2/（n+1）
解答完毕~~~