无穷多个无穷小的积是无穷小吗

Question

如题所述

Answer 1

在无穷小量和无穷大量这节中，在讲到无穷小的性质时指出，有限个无穷小的和与积还是无穷小，这当然是正确的，但并没有特别强调无穷多个无穷小的和与积的运算结果。从表面上看无穷多个无穷小的积似乎是无穷小，但一时却不容易说清楚，这使许多学生产生了一些疑问，尤其是很多人误认为无穷多个无穷小的乘积一定是无穷小。事实上无穷多个无穷小的和与积并不一定是无穷小，这只要给出简单的反例就可说明。例1 设函数，，则当时，对每一个自然数都有，即是无穷小量。但他们的和为（），当时，函数不是无穷小量。例2 设函数，，则当时，对每一个自然数都有，即是无穷小量。但他们的积为（），当时，函数也不是无穷小量。