[关于函数凸凹性问题]

Question

今看到对函数凸凹的一个定义，具体如下：
f(x)在（a,b）区间内有定义，对任意的x1,x2∈（a,b) 任意p,q>0，且p+q=1，
有 f(px1+qx2) <=pf(x1)+qf(x2)
则称f(x)在（a,b）区间是下凹的（或称上凸）

高中接触过 当p=q=1/2时的上式，来判断凸凹性。可学高数出现上式颇感困惑，请问上式时怎么求证出来的。 这里先谢过，解释恰当者予以追加.

Answer 1

两者的表述方式是一致的

我用的是 清华大学出版社 的 <高等数学>

上面就是用f[(x1+x2)/2] < [f(x1)+ f(x2)]/2 来定义的

说到证明,这个是定义啊,有什么好证明的,

就像说要证明"两组对边平行的四边形是平行四边形"一样

只有用这个定义来证明其他定理的

举个例子:

凹函数一个定理: 若f(x)有二阶导数f''(x),那么f''(x) < 0

这个定理倒是可以用定义f(px1+qx2) <pf(x1)+qf(x2)来证明

既然你都学到高数了,那就用一下泰勒展开式的内容了

详细过程请见下图:

Answer 2

注意，凹凸函数定义不能取等号的。

我觉得f(px1+qx2)<pf(x1)+qf(x2)和f[(x1+x2)/2]<[f(x1)+f(x2)]/2等价
我不擅长数论那块，所以证明中有个地方对我来说很棘手，我只能说一下思路
充分条件很明显

必要条件
如果f(x)有二阶导数，那么证明f(px1+qx2)<pf(x1)+qf(x2)和f[(x1+x2)/2]<[f(x1)+f(x2)]/2等价就比较简单了，用中值定理很容易证明。
但如果f(x)没有二阶导数，就比较难了。

f(x1)+f(x2)>2f[(x1+x2)/2]
2f[(x1+x2)/2]+2f(x2)>4f[(x1+3x2)/4]
……
f(x1)+f(x2)+2f(x2)+2^2f(x2)+...+2^(n-1)f(x2)>2^nf[(x1+2^n-1x2)/2^n]
即f(x1)+(2^n-1)f(x2)>2^nf{[x1+(2^n-1)x2]/2^n}
发现一个规律，所以
一个同理，加若干f(x1)、f(x2)，使之系数对应相等，比如f(x1)+f(x2)+2f(x2)+4f(x1)+8f(x1)+16f(x2)...

可以得到
记max{Ai,Bj}+1=S
f(x1)(1+2^A1+2^A2+...+2^Ai)+f(x2)(1+2^B1+2^B2+...+2^Bj)=2^Sf{[(x1)(1+2^A1+2^A2+...+2^Ai)+(x2)(1+2^B1+2^B2+...+2^Bj)]/2^C}
Ai、Bj合在一起刚好是正整数列，若Cn是正整数列（最大项相等），则Cn=Ai+Bj，S=Cn+1
若令
(1+2^A1+2^A2+...+2^Ai)/2^S=p
(1+2^B1+2^B2+...+2^Bj)/2^S=q
刚好p+q=1
难点就在于需要证明p、q可以取完所有有理数，若p、q可以取完小于1的所有正有理数，那么可以由有理数的稠密性得到，极限状态可以取完所有无理数。
也就是类似0.5+0.25+0.075+0.0625+...（中间某些项可能没有）能取完所有小于1的所有正有理数。看起来貌似是可以取完的。原谅我不擅长数论。
从而就有pf(x1)+qf(x2)>f(px1+qx2)

Answer 3

不妨记点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)),
f(px1+qx2) 即是指区间[x1,x2](或者x1>x2时[x2,x1])上的任意一个点的函数值.
pf(x1)+qf(x2),表示线段AB
也就是对任意区间[x1,x2]的函数值不超过线段AB