求极限的公式总结

Question

如题所述

Answer 1

求极限的公式总结如下：

一、函数的极限

1、第一步：判断极限类型

常用方法：洛必达法则、等价无穷小代换、泰勒公式。分子分母同除以分子和分母各项中最高阶的无穷大，根式有理化（适用于根式差），凑基本极限。

2、第二步：化简原式

两式相加减时考虑：提取极限非零的公因子，拆开后等价无穷小代换（拆开的条件：加法两式相除的极限≠-1，减法两式相除的极限≠1，看见根号相加减时，考虑有理化，幂指函数时：先改写幂指函数为指数函数，再等价代换。

二、数列的极限

1、不定式、常见的数列极限有，与函数极限方法相同，但注意不能直接使用洛必达法则，要先改写为函数极限才可以使用

2、n项和的数列极限，常用方法、夹逼原理、定积分定义、级数求和，当变化部分的最大值与其主体部分相比较是次量级，使用夹逼原理，当变化部分的最大值与其主体部分相比较是同量级，使用定积分定义。

3、n项连乘的数列极限，常用方法：夹逼原理、取对数化为n项和。

4、递推关系，常用方法，当数列具有单调性时：先证明数列收敛（单调有界准则），当数列不具有单调性或单调性很难判定。

三、如何证明有界性

我们可以看到数列的极限A在数列的有界性中扮演着重要角色，所以我们需要先求出A。这一步其实很简单，我们可以先假设数列极限存在并为A，利用已知条件解方程求出A即可，之后再证明数列极限的存在就可以了（因为我们是先假设极限存在的）。

求出A之后一切就都明了了，我们可以求出数列的前几项的具体数值，然后与A进行比较，就可以知道此数列是哪种形态了。然后所有的东西就已经陈列在我们面前：是运用夹逼还是单调有界？是单调增还是减？以及数列的界限在哪也很清楚了。

然后我们就可以猜测数列的界限了，当然猜完之后我们还需要证明，也就是许多教科书上运用的归纳法，总的来说单调性的证明就是先猜后证。