常微分方程解法

Question

如题所述

Answer 1

常微分方程解法如下：

1、分离变量法：这是求解常微分方程中常用的一种方法。它的基本思想是将方程中的变量分离，将含有未知函数的项移到方程的一侧，含有自变量的项移到方程的另一侧，然后对两边同时积分，从而得到最终的解析解。

2、常系数线性齐次微分方程：这类方程具有形如dy/dx+ay=0的标准形式，其中a为常数。这类方程的解法基于线性代数中的特征值和特征向量理论。对于形如dy/dx+ay=0的一阶常微分方程，可以假设其解具有形式y=e^（rx），其中r为待定常数。

3、换元法：有些方程看似不可分离变量，但是经过换元之后，其实还是可分离变量的，不要被这种方程迷惑。

4、一阶齐次（非齐次）线性微分方程：形如dydx+P（x）y=Q（x）\frac{dy}{dx}+P（x）y=Q（x）dxdy+P（x）y=Q（x）的方程叫做一阶线性微分方程，若Q（x）Q（x）Q（x）为0，则方程齐次，否则称为非齐次。

常微分方程特点

常微分方程的概念、解法、和其它理论很多，比如，方程和方程组的种类及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理论等等。

求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标，一旦求出通解的表达式，就容易从中得到问题所需要的特解。也可以由通解的表达式，了解对某些参数的依赖情况，便于参数取值适宜，使它对应的解具有所需要的性能，还有助于进行关于解的其他研究。

来的发展表明，能够求出通解的情况不多，在实际应用中所需要的多是求满足某种指定条件的特解。当然，通解是有助于研究解的属性的，但是人们已把研究重点转移到定解问题上来。