在数学的发展史上，一共发生过三次危机，它们涉及无理数、微积分和集合等数学概念，有的甚至推翻了著名的数学理论，引起轰动。
第一次危机，关于希帕苏斯和毕达哥拉斯。
毕达哥拉斯是公元前5世纪著名的数学家和哲学家，他创立了以“万物皆数”为哲学基石的毕达哥拉斯学派。在毕达哥拉斯学派，他们的数学信仰就是“一切数均可表示成整数或整数之比”，可当希帕苏斯出现后，一切都改变了。
希帕苏斯是毕达哥拉斯学派的一员，有一天，他正在思考“边长为1的正方形其对角线长度是多少呢”这一问题时，发现这一长度不能用整数和分数来表示，只能用一个全新的数来表示，从而发现了第一个无理数。
第一个无理数的发现，在当时的数学家引起轩然大波，它直接推翻了毕达哥拉斯的著名理论，还极大冲击了当时希腊人的普遍观念，更糟糕的是，希腊人对此毫无办法，这就直接导致了当时的认识危机。
对于这次的风波，因为其影响重大，被称作“第一次数学危机”，而第二次数学危机的出现，则是源于微积分工具的使用。
随着当时社会生产力的发展，人类在科学实践上认识的提高，17世纪的微积分被牛顿和莱布尼兹共同发现。微积分的问世，让许多疑难问题变得迎刃而解，不过因为牛顿和莱布尼兹所创立的微积分理论并不完善，所以也使得微积分一直被某些人反对与抨击，其中以英国大主教贝克莱为主要代表。
他们抨击牛顿和莱布尼兹的微积分理论虽然是建立在无穷小的分析上，但是他们对无穷小量的理解与运用却十分混乱，这种对微积分合理性的抨击和质疑，使得整个微积分理论险些被推翻。
幸运的是，柯西站了出来，并用极限的方法对无穷小量进行了定义，这才使得微积分理论得以完善，从而继续发展下去。
时间来到19世纪，数学家康托尔创立了著名的集合理论，这个新生的理论刚刚诞生，便受到了很多人的猛烈攻击，但不久后，这一理论就被许多数学家所接受，因为他们发现从自然数与康托尔集合论出发科员建立起整个数学大厦。
于是，集合理论成为了现代数学的基石，并受到许多数学家的推崇。然而好景不长，1903年英国数学家罗素提出了他的悖论，并称集合论是有漏洞的，震惊了整个数学界。
在罗素的悖论中，他构建了一个S，并提出如果S由一切不是自身元素的集合所组成，那S还包含S吗？这个看似合理的问题，却让回答者陷入两难的境地，如果S属于S，那根据S的定义，S就不属于S。而S就不属于S的话，根据定义，S就属于S。
浅显易懂的罗素悖论一经问世，便在数学界和逻辑学界引起震动，而因此引发的巨大反响更是造就了这场第三次的数学危机。
危机出现后，数学家积极提出解决方案，最终在1908年，策梅罗提出第一个公理化集合论体系，后来又经其他数学家改进，称其为ZF系统，这才在很大程度上弥补了康托尔集合理论的缺陷。当悖论被成功排除，这第三次数学危机才算得到圆满解决。
事实上，三次发生在数学界的危机，看似险些推翻了常识性的数学理论认知，给当时造成巨大影响，可实际上三次数学危机却变相地推动着数学的发展与进步，给予数学界新的活力与生机。