设A的特征值为λ
则|A-λE|=
1-λ
2
2
2
1-λ
2
2
2
1-λ
第1行减去第2行
=
-1-λ
1+λ
0
2
1-λ
2
2
2
1-λ
第2列加上第1列
=
-1-λ
0
0
2
3-λ
2
2
4
1-λ
按第1行展开
=(-1-λ)(λ²-4λ-5)=0
解得λ=5,-1,-1
当λ=5时,
A-5E=
-4
2
2
2
-4
2
2
2
-4
第1行加上第2行×2,第3行减去第2行
~
0
-6
6
2
-4
2
0
6
-6
第1行加上第3行,第2行加上第3行×3/2,第3行除以6
~
0
0
0
2
0
-2
0
1
-1
第2行除以2,交换次序
~
1
0
-1
0
1
-1
0
0
0
得到
特征向量(1,1,1)^T
当λ=
-1时,
A+E=
2
2
2
2
2
2
2
2
2
第2行减去第1行,第3行减去第1行,第1行除以2
~
1
1
1
0
0
0
0
0
0
得到特征向量(1,-1,0)^T和(0,1,-1)^T
正交化为(1,-1,0)^T和(1,1,-2)^T
于是正交矩阵P为
1
1
1
1
-1
1
1
0
-2