1/(1- x)的泰勒展开式怎么列？

Question

如题所述

Answer 1

😳 : 如何将1/(1- x)泰勒展开

👉 泰勒公式

泰勒公式，是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数满足一定的条件，泰勒公式可以用函数在某一点的各阶导数值做系数构建一个多项式来近似表达这个函数 [1]  。

泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒，他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式。泰勒公式是为了研究复杂函数性质时经常使用的近似方法之一，也是函数微分学的一项重要应用内容

👉泰勒公式的例子

『例子一』 sinx = x-(1/3)x^3 +(1/120)x^5+...


『例子二』 cosx = 1- (1/2)x^2 +(1/24)x^4+...


『例子三』 e^x = 1+x +(1/2)x^2+...

👉回答

根据泰勒公式

f(x)= f(0)+[f'(0)/1!]x+[f''(0)/2!]x^2+...+[f^(n)(0)/n!]x^n+...

f(x) = 1/(1-x)                            => f(0)=1

f'(x) =1/(1-x)^2                       => f'(0)/1!=1 

...

f^(n)(x) = n!/(1-x)^(n+1)        => f^(n)(0)/n!=1 

ie

1/(1- x) = 1+x+x^2+.....+x^n+...

得出结果

泰勒展开 1/(1- x) =1+x+x^2+.....+x^n+...

😄: 泰勒展开 1/(1- x) =1+x+x^2+.....+x^n+...