如果极大似然估计不唯一，那么如何估计参数？

Question

如题所述

Answer 1

看下例：
设随机变量为X，待估计参数为theta，假设X服从以下分布：sqrt( X - theta) ~ U (0, 1)
假设随机变量只能够取大于或等于theta的数值。
现在我有n个样本点x(1), x(2), ... , x(n) ，全部是从总体X中随机抽样的，要用极大似然估计theta。
由于X的分布函数是：
F(x) = sqrt (x-theta)，所以密度函数就是f(x) = 1/ [2sqrt(x-theta) ]
这样似然函数就是
ln L = - n ln 2 - 1/2 Sum (k从1到n) [ ln ( x(k) - theta ) ]
目标就是要求theta使得上述函数达到最大值。显然任何一个x(k)都可以做到这一点，因为当
theta = x(k)时，对数里面的数值从大于0的方向趋于0，整个ln是趋于负无穷大，从而目标函数是正无穷大。于是极大似然估计得到的参数估计值就不是唯一的。任何一个样本点的数值都是该参数的极大似然估计值。
一般地，只要你的似然函数没有唯一的极值点，极大似然估计就不唯一，还能举很多例子说明这点。