怎么判断函数的凹凸性

Question

如题所述

Answer 1

凹凸函数的判断方法如下：

1、设函数f(x)在区间I上连续，在区间内任取两点x1和x2，如果对于区间上任意两点x1及x2，当x1<x2时，恒有f（x1）<f（x2），则称函数f（x）在区间I上是凹函数。

2、设函数f(x)在区间I上连续，在区间内任取两点x1和x2，如果对于区间上任意两点x1及x2，当x1<x2时，恒有f（x1）>f（x2），则称函数f（x）在区间I上是凸函数。

如果凹函数（也就是向上开口的）有一个“底”，在底的任意点就是它的极小值。如果凸函数有一个“顶点”，那么那个顶点就是函数的极大值。如果f（x）是二次可微的，那么f（x）就是凹的当且仅当f''（x）是正值。

性质

如果一个可微函数f它的导数f'在某区间是单调上升的，也就是二阶导数若存在，则在此区间，二阶导数是大于零的，f就是凹的；即一个凹函数拥有一个下跌的斜率当中下跌只是代表非上升而不是严谨的下跌，也代表这容许零斜率的存在。

如果一个二次可微的函数f，它的二阶导数f'（x）是正值（或者说它有一个正值的加速度），那么它的图像是凹的；如果二阶导数f'（x）是负值，图像就会是凸的。当中如果某点转变了图像的凹凸性，这就是一个拐点。