如图，已知在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，在线段AC和线段CB的延长线上分别有两个动点E、F

Question

如图，已知在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，在线段AC和线段CB的延长线上分别有两个动点E、F，联结EF交AB于点P，且PE=PF
（1）求证：AE=BF
（2）若设AE=x，BP=y，求y于x之间的函数解析式，并写出函数定义域
（3）若∠FEC=60°，求AE的长

Answer 1

(1)证明;：过点E作EG平行CF交AB于G
所以角AGE=角ABC
角PEG=角F
角PGE=角PBF
因为PE=PF
所以三角形PGE和三角形PBF全等（AAS)
所以GE=BF
PG=PB=1/2BG
因为AC=BC
所以角EAG=角ABC
所以角EAG=角AGE
所以AE=GE
所以AE=BF
(2)解：因为EG平行CF
所以CE/AE=BG/AG
因为角C=90度
AC=BC=2
所以三角形ABC是等腰直角三角形
所以由勾股定理得：
AB^2=AC^2+BC^2
所以AB=2倍根号2
因为AE=x PB=y
CE=AC-AE=2-x
PB=1/2BG
AG=AB-BG=2倍根号2-2y
所以Y=-根号2x/2+根号2
x的定义域是：0<x<2
(3)解：因为角C=90度
角C+角FEC+角F=180度
角FEC=60度
所以角F=30度
所以在直角三角形FEC中，角C=90度，角F=30度
所以CE=1/2EF
EF^2=CE^2+CF^2
CF=BC+BF
因为AE=BF
CE=AC-AE=2-AE
所以AE=4-2倍根号3