一个对称矩阵的逆矩阵怎么求方便？比如4阶的从上到下 {1,1,1,1} {1,1,-1,-1} {1,-1,1,-1} {1,-1,-1,1}的逆

Question

如题所述

Answer 1

用 (A , E) 做初等行变换 变到 (E , B)的形式，这时候B的值正好是A逆。

构造矩阵 (A,E) =

1 1 1 1 1 0 0 0

1 1 -1 -1 0 1 0 0

1 -1 1 -1 0 0 1 0

1 -1 -1 1 0 0 0 1

r2-r1, r3-r1, r4-r1

1 1 1 1 1 0 0 0

0 0 -2 -2 -1 1 0 0

0 -2 0 -2 -1 0 1 0

0 -2 -2 0 -1 0 0 1

r2*(-1/2),r2*(-1/2),r2*(-1/2),

1 1 1 1 1 0 0 0

0 0 1 1 1/2 -1/2 0 0

0 1 0 1 1/2 0 -1/2 0

0 0 0 1 1/4 -1/4 -1/4 1/4

r1-r4,r2-r4,r3-r4

1 1 1 0 3/4 1/4 1/4 -1/4

0 1 0 0 1/4 1/4 -1/4 -1/4

0 0 1 0 1/4 -1/4 1/4 -1/4

0 0 0 0 1/4 -1/4 -1/4 1/4

r1-r2-r3

1 0 0 0 1/4 1/4 1/4 1/4

0 1 0 0 1/4 1/4 -1/4 -1/4

0 0 1 0 1/4 -1/4 1/4 -1/4

0 0 0 0 1/4 -1/4 -1/4 1/4

定理

（1）逆矩阵的唯一性。

若矩阵A是可逆的，则A的逆矩阵是唯一的，并记作A的逆矩阵为A-1。

（2）n阶方阵A可逆的充分必要条件是r(A)=m。

对n阶方阵A,若r(A)=n,则称A为满秩矩阵或非奇异矩阵。

（3）任何一个满秩矩阵都能通过有限次初等行变换化为单位矩阵。

推论 满秩矩阵A的逆矩阵A可以表示成有限个初等矩阵的乘积。

Answer 2

构造矩阵 (A,E) =
1 1 1 1 1 0 0 0
1 1 -1 -1 0 1 0 0
1 -1 1 -1 0 0 1 0
1 -1 -1 1 0 0 0 1

r2-r1, r3-r1, r4-r1
1 1 1 1 1 0 0 0
0 0 -2 -2 -1 1 0 0
0 -2 0 -2 -1 0 1 0
0 -2 -2 0 -1 0 0 1

r4-r2-r3
1 1 1 1 1 0 0 0
0 0 -2 -2 -1 1 0 0
0 -2 0 -2 -1 0 1 0
0 0 0 4 1 -1 -1 1

r2*(-1/2),r2*(-1/2),r2*(-1/2),
1 1 1 1 1 0 0 0
0 0 1 1 1/2 -1/2 0 0
0 1 0 1 1/2 0 -1/2 0
0 0 0 1 1/4 -1/4 -1/4 1/4

r2<->r3
1 1 1 1 1 0 0 0
0 1 0 1 1/2 0 -1/2 0
0 0 1 1 1/2 -1/2 0 0
0 0 0 1 1/4 -1/4 -1/4 1/4

r1-r4,r2-r4,r3-r4
1 1 1 0 3/4 1/4 1/4 -1/4
0 1 0 0 1/4 1/4 -1/4 -1/4
0 0 1 0 1/4 -1/4 1/4 -1/4
0 0 0 0 1/4 -1/4 -1/4 1/4

r1-r2-r3
1 0 0 0 1/4 1/4 1/4 1/4
0 1 0 0 1/4 1/4 -1/4 -1/4
0 0 1 0 1/4 -1/4 1/4 -1/4
0 0 0 0 1/4 -1/4 -1/4 1/4

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Answer 3

用 (A , E) 做初等行变换 变到 (E , B)的形式，
这时候B的值正好是 A逆追问

可是有没有什么定律，能很快算出结果的麽？
答案是A^(-1)=1/4A