已知椭圆方程为x^2/4+y^2/3=1,过p(-1,0)作直线l交椭圆于交椭圆A,B使|AB|=3的直线l是否存在？

Question

如题所述

Answer 1

x^2/4+y^2/3=1
c^2=a^2-b^2=4-3=1
∴c=1
那么(-1,0)为左焦点
当l⊥x轴时，|AB|为通经，为焦点弦的最短弦
将x=-1代入椭圆方程：
1/4+y^2/3=1
解得y^2=9/4,|y|=3/2
|AB|=2|y|=3
∴使|AB|=3的直线l存在,此时l⊥x轴。追问

应该也要讨论不垂直的时候， 做完给你分

追答

L有斜率时，斜率为k,

L:y=k(x-1)代入x²/4+y²/3=1
3x²+4k²(x-1)-12=0
即(3+4k²)x²-8k²x+4k²-12=0
设A(x1,y1),B(x2,y2)
x1+x2=8k²/(3+4k²),
x1x2=(4k²-12)/(3+4k²)
∴|AB|=√(1+k²)*√[64k⁴/(3+4k²)²-4(4k²-12)/(3+4k²)]
=√(1+k²)*4/(3+4k²)*√[4k⁴-(k²-3)(3+4k²)]
=√(1+k²)*4/(3+4k²)*3√(k²+1)
=12(k²+1)/(4k²+3)
设4k²+3=t≥3,k²=(t-3)/4
|AB|=12[(t-3)/4+1]/t=3(t+1)/t=3(1+1/t)>3

∴AB⊥x轴时,|AB|最短为3，AB不垂直x轴时，|AB|>3
符合条件的直线l有且只有1条。