为什么f：A→B中函数值域是集合B的子集

Question

必修一书上的一段话不是很理解。
设A,B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，其中，X叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域。显然，值域是集合B的子集。
为什么值域是集合B的子集啊？

Answer 1

值域是“象”的集合。事实上，对于集合B中的元素，除了象之外，若另外加上一些元素，其函数关系仍然成立（满足函数定义），新加上的元素并没有原象，因此不是值域中的元素。
例如：集合A={-1，1，-2，2}，按照“平方”法则对应于集合B={1，4}，这是一个函数关系。但在集合B中若添加元素5，则从A到B={1，4，5}仍然符合函数定义（试试看噢），即从A到B={1，4，5}仍然是函数关系，但5没有原象，即A中的元素没有和5对应的，因此课本把{1，4}定义为函数值域，而不是{1，4，5}，从而出现上述问题。注意，值域（象的集合不能再添加新元素哦）。

Answer 2

集合A中的任意个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应

说明A中元素必须都要映出去，但是B中可以有剩余元素。
值域是被A中元素映到的元素，所以值域包含于B，但不一定相等。

Answer 3

举个例哈。
假设集合A(1,2,3,4,5)
集合B(1,3,4,5,7,9,11,16,27,25)
在对应法则f：A→B（其中f(x)=x^2)下
B中满足f法则的值有C{1，4，9，16，25}
此时的值域就为C{1,4,9,16,25}
显然C是B的一个子集。
注意1，A中不能有剩余元素
2，B中可以有剩余元素
3，A中的元素可以和B中的元素一一对应，也可以多对一。

Answer 4

因为我们以后还要规定一个叫满射的定义，（满射时值域=集合B）

Answer 5

比如f(x)=x^2+1
x∈r，
f(x)∈[1,正无穷)
那么[1,正无穷)就是值域
a→b中函数值域是集合b的子集的话是因为函数有哥对应关系，就是说集合a中的数一定要有集合b中的数与之对应，但是集合b中的数不一定都有a中的数对应，就是说这个时候的集合b的话只要包含[1,正无穷)这个函数域的话，就都是可以的。。
补充一下，x的定义域是认为规定的
不知道有没有说清楚。