为什么行列式可以旋转？

Question

如题所述

Answer 1

这与行列式的阶数n有关。

将第n行依次与上一行交换, 交换n-1次到第一行
同样, 将新的第n行(原n-1行)依次与上一行交换, 交换n-2次到第二行
...

共交换 (n-1)+(n-2)+...+1 = n(n-1)/2 次。

所以行列式等于 (-1)^[n(n-1)/2] 乘原行列式。

注意：

一个e阶的范德蒙行列式由e个数c₁，c₂，…，cₑ决定，它的第1行全部都是1，也可以认为是c₁，c₂，…，cₑ各个数的0次幂，它的第2行就是c₁，c₂，…，cₑ（的一次幂）。

它的第3行是c₁，c₂，…，cₑ的二次幂，它的第4行是c₁，c₂，…，cₑ的三次幂，…，直到第e行是c₁，c₂，…，cₑ的e-1次幂。

再做同样次数的列变化左右对换。

互换行或列只会改变行列式值的符号，偶数次互换则不会改变符号，所以旋转180°后范德蒙德行列式的值是不变的。