第1个回答 2016-06-01
(正交拉丁方)
设 N={1,2,...,n}. 若 A=(a_{i,j}}, B=(b_{i,j}) 都是 n 阶拉丁方, 且满足:
{(a_{i,j}, b_{i,j}) : i=1..n, j=1..n} = N^2
则称 A, B 是正交拉丁方.
3. 定义: (正交拉丁方组)
{A_1, ..., A_k} 是 k 个 n 阶拉丁方, 若它们两两正交,则称它们是一个正交拉丁方组.
4. 定理: 若 A=(a_{i,j}), B 是正交 n 阶拉丁方. f 是 {1, 2, ..., n} 到自身的一个置换. 设 C={c_{i,j}} 使得:
c_{i,j}=f(a_{i,j}),
则 C, 仍是拉丁方,且 C, B 是正交拉丁方. 我们把 C 记为 f(A).
5. 设 S 是 n 阶正交拉丁方组, 则 |S|< n.
6. 定义: (饱和正交拉丁方组)
设 S 是 n 阶正交拉丁方组,若 |S|=n-1,则称 S 是饱和的.
7. 定理: 若 n 是素数方幂, 则存在饱和的 n 阶正交拉丁方组.
8. 定理: 设 {A_1,..., A_k} 是一个 n 阶正交拉丁方组,而 {B_1,..., B_k} 是一个 m 阶正交拉丁方组. 则在此基础上,可以构造出 mn 阶正交拉丁方组 {C_1,..., C_k}.
9. 设 n 有典范分解
p_1^{a_1} ... p_s^{a_s},
而 r = min {p_j^{a_j} : j=1..s}, 则存在 r 个正交的 n 阶拉丁方.
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