如何理解等价无穷小公式？

Question

如题所述

Answer 1

等价无穷小公式是数学中用于描述两个无穷小量之间的关系的重要工具。在微积分中，我们经常遇到无穷小量，它是指在某个极限过程中趋向于零的量。等价无穷小公式告诉我们，当两个无穷小量之间的差异非常小时，它们在某种意义上是等价的。
设f(x)和g(x)是两个函数，当x趋向于某个特定的值a时，f(x)和g(x)分别表示为无穷小量Δx和Δy，即：
Δx = f(x) - a
Δy = g(x) - b
等价无穷小公式的表达式是：
Δy ≈ k * Δx
其中，k是一个常数。这意味着当Δx趋向于零时，Δy和Δx之间的比值k是一个常数，即两个无穷小量在这个极限过程中是等价的。
等价无穷小公式在求解极限、计算导数和积分等数学问题中非常有用，它帮助我们简化复杂的计算，并更好地理解函数在某点附近的性质和行为。

Answer 2

在微积分中，有几个常用的等价无穷小公式，它们在极限计算和微分中经常被使用。以下是其中一些常见的等价无穷小公式：
1. 当 趋向于 0 时，有：
- sin() ≈
- tan() ≈
- ^ ≈ 1 +
- ln(1 + ) ≈
2. 当 趋向于 ∞ 时，有：
- ^ ≈ ∞
- ln() ≈ ∞
- ^ ≈ ∞ （其中 > 0）
这些等价无穷小公式在求解极限、导数和微分方程等问题时非常有用。请注意，这些公式是近似的，当 趋向于特定的值（例如0或∞）时成立，而在其他情况下可能不适用。在具体的计算中，还需要根据具体的函数和问题进行判断和应用。