求如下初值问题yy″＝1+y′2y(1)＝1，y′(1)＝0的解

Question

求如下初值问题yy″＝1+y′2y(1)＝1，y′(1)＝0的解．

Answer 1

解：设y'=p，则y''=p(dp/dy)
代入原方程得yp(dp/dy)=1+p²
==>pdp/(1+p²)=dy
==>ln(1+p²)=2ln│y│+c
(c是积分常数)
∵y(1)＝1，y'(1)=0
∴当x=1时，p=1
==>c=0
∴ln(1+p²)=2ln│y│
==>1+p²=y²
==>y'=√(y²-1)，或y'=-√(y²-1)
==>dy/√(y²-1)=dx，或dy/√(y²-1)=-dx
==>ln│y+√(y²-1)│=x+c，或ln│y+√(y²-1)│=-x+c
（c是积分常数）
∵y(1)＝1
∴c=-1，或c=1
==>y+√(y²-1)=e^(x-1)，或y+√(y²-1)=e^(1-x)
故原方程满足初值的解是y+√(y²-1)=e^(x-1)，或y+√(y²-1)=e^(1-x)。