函数是一种特殊的关系,若R是从X到Y的关系,则逆关系Rc为从Y到X的关系,但对于任意给定一个函数f,它的逆不一定是函数,例如函数
f = {,,}
其逆
f -1 = {,,}
显然是关系而不是函数.因为y1对应两个值x1,x2.破坏了单值性.在什么情况下函数的逆也是函数呢?
定理4.2.1 设f:x®y是一个
双射函数,则其逆f -1是y到x的双射函数.
证明：因f是函数,f -1是关系,故
dom f -1 = ranf = Y
ranf = domf = X
对任yÎY,设x1,x2ÎX,使
,Î f -1
则 ,Î f
由f为单射,故x1 = x2,即对任有从Y到X的唯一的与之对应,故f -1为从有y到x的函数.
又ran f -1 = X,故f -1:y®x是
满射.
对任y1,y2ÎY,y1≠y2,假设存在 使
x = f -1 (y1 ) = f -1 (y2)
则,Îf,且y1≠y2
这与f为函数矛盾.故f -1 (y1 ) ≠ f -1 (y2)
即：f -1:Y®X为单射.即f -1是双射.
定义4.2.1 设f:X®Y是一个双射函数,则称f的逆关系为f的逆函数,记f -1
例：f (x) = sinx,若限定 ,Y = [-1,1]则f是X到Y的双射函数,且 x = arc sin y为f的逆函数.
定义4.2.2 设函数f:X®Y,g:W®Z,若f (X)ÍW,则gof = {| xÎX且zÎZ 并且 $y | yÎY
y = f (x) ,z = g (y)
则称g在函数f左边可复合.
可以证明两个函数的复合是一个函数（定理4.2.2）
例：g :Rt®R :g (x) = lnx
f :R®R :f (x) = x+1
则有 domg = R+,rang = R
domf = R,ranf = R
而函数gof的
定义域不的R,而是(-1,+¥)
且有gof(x) = g(f(x)) = ln(x+1)
注意,ranfÍdomg,若不满足此条件,则定义gof为空.
例:X = {1,2,3},Y = {p,q},Z = {a,b}
f = {,,}
g = {,}
则 gof = {,,}
在上节中讨论了函数的单射,满射,双射,这些性质经复合运算后,能否保持呢?
定理4.2.3 令gof 是一个
复合函数.
1）若g,f是满射,则gof为满射,
2）若g,f 是入射,则gof是入射.
3）若g,f是入射,则gof是双射.
证：设f:X®Y,g：Y®Z
1）对任zÎZ,因g满,故存在yÎY,使f(y)=z.对于此y,由于f满故存在xÎX,使f(x)=y,故
gof (x)=g(f(x))=g(y)=z
即gof 满.
2）对任x1,x2ÎX,x1¹x2 ,f为入射故
f (x1) ¹f (x2 )ÎY
又g也为入射,故
g (f (x1))¹g (f (x2))
于是x1¹x2必有gof (x1) ¹ gof (x2),即gof 为入射.
3）由1）,2）知3）成立.
设函数f:X®Y,IX:X®X,Iy:Y®Y分别为X,Y上的恒等函数.
则 f = foIX = Iy of
此结论由复合函数的定义易见成立.
定理4.2.5 若函数f:X®Y 有逆函数f -1 :Y®X.则
f -1of = IX
f o f -1 = Iy
证：仅证f –1of = IX
f –1of与IX的定义域都为X,又f,f -1都为双射.
故若f :x ® f (x),则f -1 (f (x)) = x
即是说,对任xÎX,f –1of (x) = f -1 (f (x)) = x
追问这个太难懂了
我懂不起
能举一个哈理解的例子吗