设f（x）=|x|+2|x﹣a|（a＞0）．（I）当a=1时，解不等式f（x）≤4；（ II）若f（x）≥4恒成立，求实数a的

Question

设f（x）=|x|+2|x﹣a|（a＞0）．（I）当a=1时，解不等式f（x）≤4；（ II）若f（x）≥4恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=|x|+2|x-1|= ． 当x＜0时，由2﹣3x≤4，得﹣  ≤x＜0； 当0≤x≤1时，1≤2﹣x≤2，解得 0≤x≤1； 当x＞1时，由3x﹣2≤4，得1＜x≤2． 综上，不等式f（x）≤4的解集为[﹣ ，2] （Ⅱ）f（x）=|x|+2|x﹣a|= ． 可见，f（x）在（﹣∞，a]单调递减，在（a，+∞）单调递增． 当x=a时，f（x）取最小值a． 若f（x）≧4恒成立，则应有a≧4， 所以，a取值范围为[4，+∞）．