一道高数题目,请大家帮忙解答一下!

已知一连续函数f(x),满足条件
f(x)=,求f(x)。
请大家帮忙解答一下,谢谢啦!

答:

f(x)=(0→3x) ∫ f(t/3) dt +e^(2x)
=(0→3x) ∫ 3f(t/3) d(t/3) +e^(2x) 令a=t/3
=(0→x) ∫ 3f(a) da+e^(2x)
显然:f(0)=0+1=1
求导:f'(x)=3f(x)+2e^(2x)
所以:y'-3y=2e^(2x)
y'-3y=0的通解为y=Ce^(3x)
设特解为y*=e^(3x)+ae^(2x)
y*'=3e^(3x)+2ae^(2x)
代入得:3e^(3x)+2ae^(2x)-3e^(3x)-3ae^(2x)=2e^(2x)
所以:-a=2,a=-2
所以:通解为y=f(x)=Ce^(3x)-2e^(2x)
因为:f(0)=C-2=1
所以:C=3
所以:f(x)=3e^(3x)-2e^(2x)
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