如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,DD=AA1=1,AB>1,点E在棱AB上移动,从点A延长方体的表面到C1的最短路程为2√2

Question

(1)求证:D1E⊥A1D;(2)求AB的长度;(3)在线段AB上是否存在点E,使得二面角D1-EC-D的大小为π/4。若存在，确定点E的位置；若不存在，请说明理由。（老师同学们啊！帮忙解了这道吧！我想了一个暑假了~）
一楼：第三问看不懂！

Answer 1

你题目应该是AA1=AD=1
(1)证明：
∵AA1=AD=1 A1A⊥AD
∴ADD1A1是正方形
∴A1D⊥AD1
∵AE⊥面ADD1A1
∴AE⊥A1D
∴A1D⊥AD1E
∴A1D⊥D1E
(2)点A到点C1的最短距离 必经过AB1或B1B的中点 取AB1的中点M 那么就有B1M=AM=√2
∴在Rt△AA1M中
由勾股定理得:
A1M=1
∴AB=2A1M=2
(这个最短距离可以想到小学数学中一道蚂蚁从A到C1得最短距离得那道有趣的题)
(3)过D1作D1N⊥CE交CE于N 连接DN
∵DD1⊥面ABCD
∴DN是DN在ABCD得射影
∴根据三垂线定理得:
D1N⊥CE
∴∠D1ND即为D1-CE-D二面角的平面角
在Rt△D1DN中
DN=D1D/tan∠D1ND=1
D1N=根2
∵DN=BC=1
∠CEB=∠DCN
∠DNC=∠B=90°
∴△DNC≌△CBE
∴BE=NC
在Rt△D1CN中
CN=√(D1C^2-D1N^2)
=√3
∴AE=2-√3
所以E点在距A点2-√3处

Answer 2

DD=AA1=1应该为AD=AA1=1吧
这样的话，AB⊥面ADD1A1,∴AB⊥A1D,又AD1⊥A1D,则A1D⊥面D1AB
则A1D⊥D1E

把A1D1C1C以A1B1为轴旋转到与ABB1A1同一平面，转后AC1的距离为2根号2，则AB=2

若要D1-EC-D的角度为45度，则EC到D的距离为1
又ABCD为长为1宽为2的长方形
以D为原点，AD为半径做圆，则必有一直线EC切圆交AB于E，
设切点为F,延长FE与DA延长线交于G，DGF与DFC相似，可得到GF=3分之根号3
DGF又与DA~全等，
之后设AE为x，GE为y。
用一个相似，得到
x=1/(2+根号3)
x=2-根号3