设函数f(x)在(负无穷,正无穷)内有界且有连续导数,|f(x)-f'(x)|小于等于1,求证|f(x)|小于等于1

Question

如题所述

Answer 1

令
F(x)=exf(x)，F'(x)=ex[f(x)+f'(x)]，得|F'(x)|≤ex，即-ex≤F'(x)≤ex，即

即

故-1≤f(x)≤1，即|f(x)|≤1条件可以化为-1≤f(x)+f'(x)≤1，结论可以化为
-1≤f(x)≤1
设想构造一个函数F(x)，使之导数有因式f(x)+f'(x)，这样可得F'(x)的一个所在范围，又由求证结果
-1≤f(x)≤1→ex≤f(x)ex≤ex
可猜想取F(x)=exf(x)形式追问

没看懂，轻写出具体过程

追答

设F（x）=e^x[f(x)-1],则F′(x)=e^x[f(x)+f′(x)-1],
因为-1≤f(x)+f′(x)≤1,
所以F′(x)≤0,即F（x）单调不增,
因为F（x）单调有下界,
故存在l i m F（x）为F（x）的最大值,
x->-∞
因为f(x)有界,所以存在常数值m,M,使得m-∞
所以根据极限夹逼法可知,
l i m F（x）=0
x->-∞
则F（x）≤0,即e^x[f(x)-1]≤0,
因为e^x不等于0,所以f(x)-1≤0,即f(x)≤1.
若设F(X)=e^x[f(x)+1],则同理可得-1≤f(x),
综上所述,可得结论：|f(x)|≤1.