如何利用数列求和公式求最值？

Question

如题所述

Answer 1

数列求和公式求最值的常用方法，如下：

1. 公式法：利用等差数列、等比数列等求和公式进行计算，可以直接求出前 n 项和的表达式，然后通过适当变形和利用基本不等式或函数的性质等方法求解最值。

2. 倒序相加法：将数列倒过来，然后将新数列的前 n 项和与原数列的前 n 项和相加，得到一个常数列，从而可以求出原数列的前 n 项和的最值。

3. 分组求和法：将数列分成若干个等长的子数列，然后将每个子数列分别求和，最后将各子数列的和相加即可得到原数列的前 n 项和。这种方法适用于一些特殊的数列，如周期数列等。

利用数列求和公式求最值，通常需要先确定数列的类型（等差数列、等比数列等），然后根据相应的求和公式计算出前 n 项的和，再对和式进行适当变形，最后利用基本不等式或函数的性质求解最值。

以等差数列为例，其前 n 项和为：S = n(a1 + an) / 2。假设等差数列的第一项为 a1，公差为 d，要求前 n 项和的最大值，则可以将 Sn 表示成关于 n 的二次函数形式，即：

Sn = n * (a1 + a1 + (n - 1)d) / 2 = n * [2a1 + (n - 1)d] / 2

由于 Sn 是关于 n 的一次函数，所以当 n 取最小值时，Sn 取得最大值。因此，可以令 n = 1，2，3……直到满足某个条件为止，此时 Sn 就是前 n 项和的最大值。

对于其他类型的数列，也可以类似地利用求和公式求出前 n 项和的表达式，然后通过适当变形和利用基本不等式或函数的性质等方法求解最值。

Answer 2

如果a、b同号（其实是同正），那么求最小值的过程如下:

未完待续

如果a、b异号，那么:（事实上a+b不存在最小值。）

供参考，请笑纳。