已知函数f(x)=1/3x^3-x^2-3x在x1、x2处分别取得极大值和极小值，记点M（x1,f

Question

(x1)),N(x2,f(x2))
（1）求x1和x2的值
（2）证明：线段MN与曲线f(x)存在异于M、N的公共点求详细过程

Answer 1

f'(x)=-3x^2+3=0 ==> x=±1，不妨令x1=-1,x2=1则f(x1)=f(-1)=0,f(x2)=f(1)=4所A、B点坐标分别是A（-1，0），B（1，4）设P点坐标为（x,y），则向量PA=（-1-x,0-y)，向量PB=(1-x,4-y），由 向量PA*向量PB=4 得：（x^2-1)+y(y-4)=4整理得 x^2+(y-2)^2=9,这说明P点轨迹是以C（0，2）为圆心，r=3为半径的圆。由于Q点与P点关于直线y=2(x-4)对称，所以Q点轨迹一定是另一个圆，这个圆以C'为圆心（C'是C关于直线的对称点）。设C'为（a,b),则一方面：(b-2)/(a-0)=-1/2 即 a+2b-4=0 (1)另一方面：点(a/2,(b+2)/2)在直线上，因而 (b+2)/2=2(a/2-4) 即 2a-b-18=0 (2)联（1）、（2）解得 a=8，b=-2故Q点轨迹是以C'(8,-2)为圆心，3为半径的圆，即(x-8)^2+(y+2)^2=9