X，Y，Z为3个随机变量，证明以下不等式成立并指出等号成立的条件。

Question

如题所述

Answer 1

【答案】：H(XY|Z)=H(X|Z)+H(Y|XZ)≥H(X|Z)
当H(Y|XZ)=0，即Y是X和Z的函数时，原式等号成立。$I(XY；Z)=I(X；Z)+I(Y；Z|X)≥I(X；Z)
当I(Y；Z|X)=0，即在给定X的情况下Y和Z统计独立时，原式等号成立。$H(XYZ)-H(XY)=H(Z|XY)=H(Z|X)-I(Z；Y|X)
≤H(Z|X)
=H(XZ)-H(X)
当I(Z；Y|X)=0，即在给定X的情况下Y和Z统计独立时，原式等号成立。$根据互信息的链规则：
I(X；Z|Y)+I(Z；Y)=I(XY；Z)=I(Z；Y|X)+I(X；Z)
因此
I(X；Z|Y)=I(Z；Y|X)-I(Z；Y)+I(X；Z)
即要证明的不等式其实是一个等式。