不一定是连续函数。连续型随机变量指的是连续取值的随机变量，比如在[0,1]上每个数都有可能取，就可以说是连续型随机变量，这和密度函数连续与否无关。
叫概率密度是因为它和物理上密度的定义本质上是一样的，一个物体的密度再大，如果它只是一个点，则其质量也是零，同样，在一点处的概率密度再大，在这点处的概率也是零，只有讨论X落在区间内的概率才有意义。
设f(x)在x连续，概率密度函数就是概率分布函数的导数，从导数的角度理解概率密度函数比较容易理解：概率密度函数表现的是概率分布函数在某一点的变化率。
分布函数是一个累积函数，是增函数，所以这个变化只是增加的快慢的变化，当f(x)较大时，说明在x附近增加快，故在x这点附近取值概率大。
扩展资料
实例：
比如，一次掷20个硬币，k个硬币正面朝上，k是随机变量，k的取值只能是自然数0，1，2，…，20，而不能取小数3.5、无理数√20……因而k是离散型随机变量。
再比如，掷一个骰子，令X为掷出的结果，则只会有1,2,3,4,5,6这六种结果，而掷出3.3333是不可能的。因而X也是离散型随机变量。如果变量可以在某个区间内取任一实数，即变量的取值可以是连续的，这随机变量就称为连续型随机变量。
比如，公共汽车每15分钟一班，某人在站台等车时间x是个随机变量，x的取值范围是[0,15)，它是一个区间，从理论上说在这个区间内可取任一实数3分钟、5分钟7毫秒、7√2分钟，在这十五分钟的时间轴上任取一点，都可能是等车的时间，因而称这随机变量是连续型随机变量。
参考资料来源：百度百科-连续型随机变量