设随机变量X属于N～(0,1)求Y=logX概率密度函数

Question

如题所述

Answer 1

要求随机变量 Y = log(X) 的概率密度函数，其中 X 属于标准正态分布 N(0,1)。
我们可以使用变量转换的方法来求解。
首先，我们得到变量转换的表达式 X = e^Y。
然后，我们求得 X 关于 Y 的导数：dX/dY = e^Y。
接下来，我们可以利用变量转换公式来计算概率密度函数。
f(y) = f(x) / |dx/dy|，其中 f(x) 是 X 的概率密度函数， f(y) 是 Y 的概率密度函数。
由于 X 属于标准正态分布 N(0,1)，其概率密度函数为 f(x) = (1 / √(2π)) * e^(-x^2/2)。
根据变量转换公式，我们需要计算 |dx/dy|，即 |e^Y| = e^Y。
将这些信息代入概率密度函数公式，我们得到：
f(y) = f(x) / |dx/dy|
= (1 / √(2π)) * e^(-x^2/2) * e^Y
= (1 / √(2π)) * e^(-(e^y)^2/2) * e^y
= (1 / √(2π)) * e^(y - (e^y)^2/2)
因此，随机变量 Y = log(X) 的概率密度函数为：
f(y) = (1 / √(2π)) * e^(y - (e^y)^2/2)