大一高数题

Question

第3，第26，第4题

Answer 1

解答：
若存在x1,x2属于[0，2]，使得g(x1)-g(x2)>=M成立
则g(x1)-g(x2)最大值大于M
g`(x)=3x^2-2x
令g`(x)=0，x=0或2/3
g`(x)在[0,2/3]上小于零，在[2/3,2]大于零
∴g(x)在[0,2/3]上递减，在[2/3,2]递增
g(x1)-g(x2)最大值为g(2)-g(2/3)=1-（-85/27）=112/27
M最大为5
（3）当t属于[1/2，2]，g(t)在[1/2,2/3]递减,[2/3,2]递增
g(t)最大值为g（2）=1
f(s)>=1在[1/2,2]上恒成立
a/x+xlnx>=1
a>=x-x^2lnx
令h（x）=x-x^2lnx
h`(x)=1-2xlnx-x
令h`(x)=0，x=1
h（x）在[1/2,1]递增,[1,2]递减
h(x)最大为h（1）=1
∴a>=1
第一题
曲线取导数y'=1/（x+a）
当y'=1时x=1-a
x=1-a代入曲线方程，得y=0
由于两线相切，x=1-a，y=0这个点在直线y=x+1上
代入即可解得a=2

Answer 2

Answer 3

(3)

∫(0->+∞) e^(-ax) dx
=-(1/a)[e^(-ax)]|(0->+∞)
=1/a
(4)
∫(π/4->π/3) x/( sinx)^2 dx
=∫(π/4->π/3) x( cscx)^2 dx
=-∫(π/4->π/3) xdcotx
=-[xcotx]|(π/4->π/3) +∫(π/4->π/3) cotx dx
=π/4 -(√3/9)π + [ln|sinx|]|(π/4->π/3)
=π/4 -(√3/9)π + [ln(√3/2) -ln(1/√2)]
=π/4 -(√3/9)π + (1/2)ln3 - (1/2)ln2
(26)
∫(0->2π) | sin(x+1) | dx
=∫(0->π-1) sin(x+1) dx - ∫(π-1-> 2π-1) sin(x+1) dx + ∫(2π-1-> 2π) sin(x+1) dx
= -[cos(x+1)]|(0->π-1) + [cos(x+1)]|(π-1-> 2π-1) - [cos(x+1)]|(2π-1->2π)
= (1 +cos1 ) + (1+1) + (1+cos1)
=4 +2cos1追问

大佬，还有一题要麻烦一下，答完我加悬赏

对了，刚才那个第三题，怎么判定收敛性？

追答

(11)
∫ lnx dx
=xlnx -∫ dx
=xlnx -x + C
∫(1/e->e) |lnx| dx
=-∫(1/e->1) lnx dx +∫(1->e) lnx dx
= - [ xlnx -x ]|(1/e->1) + [ xlnx -x ]|(1->e)
=( 1 - 2/e ) + 1
=2 - 2/e
(3)

∫(0->+∞) e^(-ax) dx
=-(1/a)lim(y->+∞) [e^(-ax)]|(0->y)
=-(1/a)lim(y->+∞) [ e^(-ay) -1 ]
=1/a

追问

第三题怎么判定收敛性？题目里问的，

追答

(3)

∫(0->+∞) e^(-ax) dx
=-(1/a)lim(y->+∞) [e^(-ax)]|(0->y)
=-(1/a)lim(y->+∞) [ e^(-ay) -1 ]
=1/a

追问

为什么26题第一个等号的第二项是负的？

追答

x∈ (π-1,2π-1)
sin(x+1) <0

追问

？

追答

sinx 在第3，4 象限 <0 , 这是很基本的东西
x∈ (π-1,2π-1)

sin(x+1) <0

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