线性代数特征值和特征向量

Question

如题所述

Answer 1

线性代数是数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。向量空间是现代数学的一个重要课题；因而，线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中；通过解析几何，线性代数得以被具体表示。线性代数的理论已被泛化为算子理论。由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中。
特征值是线性代数中的一个重要概念。在数学、物理学、化学、计算机等领域有着广泛的应用。
数学上，线性变换的特征向量（本征向量）是一个非退化的向量，其方向在该变换下不变。该向量在此变换下缩放的比例称为其特征值（本征值）。一个线性变换通常可以由其特征值和特征向量完全描述。特征空间是相同特征值的特征向量的集合。
设A为n阶矩阵，根据关系式Ax=λx，可写出(λE-A)x=0，继而写出特征多项式|λE-A|=0，可求出矩阵A有n个特征值（包括重特征值）。将求出的特征值λi代入原特征多项式，求解方程(λiE-A)x=0，所求解向量x就是对应的特征值λi的特征向量。

Answer 2

|λe-a|
=
|λ-1
-1
-3|
|
0
λ-3
0|
|-2
-2
λ|
|λe-a|
=
(λ-3)*
|λ-1
-3|
|-2
λ|
|λe-a|
=
(λ-3)(λ^2-λ-6)
=
(λ+2)(λ-3)^2
特征值
λ
=
-2，
3，
3
对于
λ
=
-2，
λe-a
=
[-3
-1
-3]
[
0
-5
0]
[-2
-2
-2]
行初等变换为
[
1
1
1]
[
0
1
0]
[
0
2
0]
行初等变换为
[
1
0
1]
[
0
1
0]
[
0
0
0]
得特征向量
(1
0
-1)^t
对于重特征值
λ
=
3，
λe-a
=
[
2
-1
-3]
[
0
0
0]
[-2
-2
3]
行初等变换为
[
2
-1
-3]
[
0
-3
0]
[
0
0
0]
行初等变换为
[
2
0
-3]
[
0
1
0]
[
0
0
0]
得特征向量
(3
0
2)^t.

Answer 3