带有圆弧的空间体的体积计算

带有圆弧的空间体的体积计算截面为一个等腰直角三角形，求学霸帮忙解一下

推荐答案 2017-07-12

截面半径R，底面半径R，底面圆心角θ，取微体积:
底面r～r十dr间圆环，面积=rθdr，高√（R²-（R-r）²）
体积=∫（0,R） √（R²-（R-r）²） rθdr
=θ∫（0,R） √（R²-（R-r）²） rdr追答

设R-r=Rcosx
r=R（1-cosx）=0～R，x=0～π/2,
dr=Rsinxdx
原式=θ∫（0,π/2）Rsinx.R（1-cosx） Rsinxdx
=θR³∫（0,π/2）（sin²x-sin²xcosx）dx
= θR³[（1/2）∫（0,π/2）（1-cos2x）dx-∫（0,π/2）sin²xdsinx ]
= θR³[（1/2）（x-0.2sin2x）| （0,π/2） -（1/3）(sin³x )| （0,π/2）]
= θR³[（1/2）（π/2) -（1/3）]
= θR³[π/4 -1/3]

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第1个回答 2020-12-18

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