如何证明三元均值不等式（不等式）

Question

如题所述

Answer 1

三元均值不等式如下：

定理1：如果a,b,c∈R，那么a³+b³+c³≥3abc，当且仅当a=b=c时，等号成立。

定理2：如果a,b,c∈R+,那么（a+b+c)/3≥³√（abc),当且仅当a=b=c时，等号成立。结论：设x,y,z都是正数，则有：

（1)若xyz=S(定值），则当x=y=z时，x+y+z有最小值3³√S。

（2)若x+y+z=P(定值），则当x=y=z时，xyz有最大值P³/27。记忆：“一正、二定、三相等”。

不等式的特殊性质有以下三种：

①不等式性质1：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变。

②不等式性质2：不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

③不等式性质3：不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向变。总结：当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定值时，它们的积有最大值。