设随机变量X和CY相互独立且都满足标准正态分布，Z=X^2+Y ^2,求Z的概率密度函数，想知道我的做法为什么错

Question

如题所述

Answer 1

可能你想写：求
z=(x^2＋y^2)^0.5的密度函数.
F(z)=P(Z<=z)=P{(X^2+Y^2)^0.5<=z}
当z<0时，F(z)=0
当z>=0时，F(z)=P{X^2+Y^2<=z^2}
F(z)=P{X^2+Y^2<=z^2}=(2πσ^2)^(-1)∫∫e^[-(x^2+y^2)/(2σ^2)]dxdy,
积分区域是X^2+Y^2<=z^2
积分得概率分布：F(z)=1-e^[-z^2/(2σ^2)]，z>0
求导得概率密度：f(z)=(z/σ^2)*e^[-z^2/(2σ^2)],z>=0,f(z)=0,z<0本回答被提问者采纳

Answer 2

z的分布叫做瑞利（rayleigh）分布,具体求法：
f(x,y)=[1/(2πσ^2)]*e^-[(x^2+y^2)/2σ^2]
当z<0时，显然有f(z)=0
当z>=0时，有：
f(z)=∫∫f(x,y)dxdy,其中积分区域为x^2+y^2<=z^2
做变换x=r*sint,y=r*cost，则
f(z)=∫{0到2π}dt
∫{0到z})
[1/(2πσ^2)]*e^-[r^2/2σ^2]
dr
=∫{0到z})
e^-[r^2/2σ^2]
d(r^2/2σ^2)
=1-e^(-z^2/2σ^2)
接下来求概率密度就是求导，得：
f(z)=f'(z)=(z/σ^2)*e^(-z^2/2σ^2)
(z>0)