高等数学。。不定积分题和其他题。。。请高手指点。。

Question

F(x)在[0,1]上二阶可导，且limx->0 f(x)/x=1 ,limx->1 f(x)/x-1=2 证明：1）存在ζ∈（0,1）
使f(ζ)=0

解题答案：
中。。有一段
即f(x)在[0,1]上连续，f(0)=f(1)=0,f’(0)•f’(1)＞0 存在ζ∈（0,1）使f(ζ)=0
（这是一个常用结论）

请问是什么结论 (这个结论的名称和证明过程)

1
∫ ln(1+x^2)dx=ln2-2(1-4/π) 这个是怎样算的？？求过程
0

洛必达法则
Limf’(x)/g’(x)存在 Limf’(x)/g’(x)=A 所以 Limf(x)/g(x)=A

但不能简单的Limf(x)/g(x)=A→Limf’(x)/g’(x)=A。。
这个结论。。。
我见有些题。。Limf(x)/g(x)=A→Limf’(x)/g’(x)=A。。。可以这样用。。
有些题。。这样用会被说是错的。。。请问为什么啊？

∫ (1+x^4)/(1+x^6)dx 怎样算？？求详细过程
答案是 arctanx +1/3arctanx^3+c

∫ 1/sin(x+π/4)dx 求详细过程
答案是 ln|csc(x+π/4)-cot(x+π/4)|+c

Answer 1

1：不妨设f'(0)>0,f’(1)>0。根据极限定义f'(0)=lim x->0 (f(x)-f(0))/(x-0)=lim x->0 f(x)/x>0,由于这里的x是（0，1）中趋于0的正数，故这里f(x)>0,这就是说在（0，1）中存在x1使得f(x1)>0。同样f'(1)=lim x->1 (f(x)-f(1))/(x-1)=lim x->1 f(x)/（x-1）>0，由于这里的x是（0，1）趋于1的数，所以(x-1)<0,这就是说在（0，1）中存在x2使得f(x2)<0。综合上面，存在x1，x2都属于（0，1），使得f(x1)>0，f(x2)<0，再由连续函数的介值定理可得存在ζ∈（0,1）使f(ζ)=0。补充下，f(x)在[0,1]上二阶可导，这就说明f（x）在[0,1]处处可导，因此f（x）是连续函数。至于是什么结论名称我就不清楚了。
2： 1
∫ ln(1+x^2)dx=ln2-2(1-4/π) 答案错。应该是ln2-2(1-π/4)。
0
很容易，用分部积分法即可得出。
∫ ln(1+x^2)dx=x Ln（1+x^2）- ∫x d Ln(1+x^2)=

=Ln2-∫x[2x/(1+x^2)]dx=Ln2-2∫[1-(1/(1+x^2))]dx

=Ln2-2[x-arctanx] =ln2-2(1-π/4)。（上下限我就不标明了，难对齐）
3:这主要是Lim g’(x)是否=0。你看那个反过程确实是不能保证g'(x)不等于0的，但是有些题目它暗藏能保证了只是没点明而已。
后面两道题，你加分的话。我就帮你想下。
基于你的恳求。我就帮你一回。
4：∫ (1+x^4)/(1+x^6)dx=∫ (1+x^4)/[(1+x^2)(1-x^2+x^4)]dx
=∫ [(1-x^2+x^4)+x^2]/[(1+x^2)(1-x^2+x^4)]dx
=∫ [1/(1+x^2)+(x^2)/(1+x^6)]dx
=arctanx+(1/3)∫ 1/[1+(x^3)^2]d(x^3)
=arctanx +1/3arctanx^3+c
5:这个技巧性很强，要熟记一些导数：（cot x）’=-(csc x)^2；(csc x)'=-cot x csc x。分析该题∫ 1/sin(x+π/4)dx=∫ csc(x+π/4)d(x+π/4)，也就是求csc(x+π/4)的原函数，因此该原函数与我提供的两个导数有很大关系:[csc(x+π/4)]^2的原函数是-cot(x+π/4),cot(x+π/4)csc(x+π/4)的原函数是-csc(x+π/4)，这两个原函数可以相加减，故可以看出csc(x+π/4)[csc(x+π/4)-cot(x+π/4)]的原函数是csc(x+π/4)-cot(x+π/4),至此该题便有眉目了。令csc(x+π/4)乘以[csc(x+π/4)-cot(x+π/4)]再除以[csc(x+π/4)-cot(x+π/4)]，∫1/sin(x+π/4)dx=∫ csc(x+π/4)d(x+π/4)=∫ {csc(x+π/4)[csc(x+π/4)-cot(x+π/4)]}/[csc(x+π/4)-cot(x+π/4)]d(x+π/4)=∫1 /[csc(x+π/4)-cot(x+π/4)]d[csc(x+π/4)-cot(x+π/4)]=ln|csc(x+π/4)-cot(x+π/4)|+c

Answer 2

5分问这么多不大会有人答得^^