二重积分里 转换为极坐标后那个 r的上下限是怎么算的啊 比如图片上这个

Question

二重积分里 转换为极坐标后那个 r的上下限是怎么算的啊 比如图片上这个图片上r^2=2rcosa 是怎么得的

或者帮我讲解下直角坐标转换为极坐标的是怎么算的 圆的例子 谢谢

Answer 1

解：由题设条件，有0≤x≤2①，0≤y≤√(2x-x²)②。
由②可得，y≥0，x²+y²≤2x③。∴由①、③可知，积分区域D是圆域x²+y²≤2x在直角坐标系下第一象限的部分。
设x=rcosθ，y=rsinθ【即建立以直角坐标系下O为极点、x轴正向为极轴正向的极坐标系】，∴0≤θ≤π/2。将x=rcosθ，y=rsinθ代入③，有r²≤2rcosθ，∴r≤2cosθ。
∴∫(0,2)dx∫(0,√(2x-x²))f(x,y)dy=∫(0,π/2)dθ∫(0,2cosθ)f(rcosθ,rsinθ)rdr。
供参考。