泰勒简单例题，请写明详细过程

Question

如题所述

Answer 1

解：设定所有题目的n的取值范围为n=0,1,2，……，∞。
(1)，∵丨3x²丨<1时，1/(1+3x²)=∑[-(3x²)]^n，故，n=6时，函数项的系数为3^6。
(2)，∵√(4-x²)=2√[1-(x/2)²]，∴利用广义二项展开式，令α=1/2，故n=6时，函数项的系数为2α(α-1)(α-2)……(α-5)/[(6!)2^6)]=-21/2^15。
(3)，∵e^(1+x+x²)=e*(e^x)(e^x²)，利用e^x=∑(x^n)/(n!)，故，x^3的系数为[1+1/(3!)]e=7e/6。
(4)，∵ln[(1+x^2)/(1+x)]=ln[(1+x^2)-ln(1+x)]，而借用ln(1+x^2)的展开式，∴x^4的系数为-1/2+1/4=-1/4。
(5)，借用e^(-2x)和cos(x^2)的展开式，∵x^5的系数-2/(4!)+(-2^5/(5!)=-7/20。
(6)，原式=[(1+x²)^(1/2)](1-x)^(-1/2)，利用广义二项展开式，前者令α=1/2、后者令α=-1/2，而前者中不含x^3的函数项，
故n=3时，函数项的系数为α(α-1)(α-2)/(3!)=5/2^4=5/16。
供参考。