高数 收敛 发散判别

Question

如题所述

Answer 1

书上应该有，我再整理下
(1)p＜0时
设t=-p＞0
则原积分=∫(0→1) x^(-p) dx
=∫(0→1) x^t dx
=1/(t+1) * x^(t+1) |(0→1)
=1/(t+1)
=1/(1-p)
收敛。
(2)p=0时，
原积分=∫(0→1) dx
=x |(0→1)
=1
收敛。
(3)0＜p＜1时，
原积分=∫(0→1) x^(-p) dx
=1/(-p+1) * x^(-p+1) |(0→1)
注意这里1-p是大于0的，所以x^n，幂次数是大于0的，也就是x不是在分母上的
=1/(1-p)
收敛。
(4)p=1时，
原积分=∫(0→1) dx/x
=lnx |(0→1)
=0 - (-∞)
=+∞
发散
(5)p＞1时，
原积分=∫(0→1) x^(-p) dx
=1/(-p+1) * x^(-p+1) |(0→1)
注意这里1-p是小于0的，也就是x在分母上的
=1/(-p+1) * 1/x^(p-1) |(0→1)
那么明显x=0是瑕点
=1/(-p+1) - ∞
=-∞
发散
再结合下以上结论就行了。