解：微分方程为y"-2y'+2y=2eˣcosx，设微分方程的特征值为λ，特征方程为λ²-2λ+2=0，得：λ=1±i，则
微分方程的特征根为eˣ(asinx+bcosx)
又∵微分方程的右式为2eˣcosx ∴设微分方程的特解为y=xeˣ(psinx+qcosx)，y'=eˣ[(px-p-qx)sinx+
(qx-q+px)cosx]，y"=eˣ(-2qxsinx+2pxcosx)，有
eˣ(2pxcosx-2qxsinx)-2eˣ[(px-p-qx)sinx+(qx-q+px)cosx]+2xeˣ(psinx+qcosx)=2eˣcosx，psinx+qcosx=
cosx，得：p=0，q=1
∴微分方程的特解为y=xeˣcosx，微分方程的通解为
y=aeˣsinx+eˣ(x+b)cosx
请参考
常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和现象运动、演化和变化规律的最为基本的数学理论和方法。物理、化学、生物、工程、航空航天、医学、经济和金融领域中的许多原理和规律都可以描述成适当的常微分方程，如牛顿运动定律、万有引力定律、机械能守恒定律，能量守恒定律、人口发展规律、生态种群竞争、疾病传染、遗传基因变异、股票的涨伏趋势、利率的浮动、市场均衡价格的变化等，对这些规律的描述、认识和分析就归结为对相应的常微分方程描述的数学模型的研究。因此，常微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学，而且越来越多的应用于社会科学的各个领域。
常微分方程
学习《常微分方程》的目的是用微积分的思想，结合线性代数，解析几何等的知识，来解决数学理论本身和其它学科中出现的若干最重要也是最基本的微分方程问题，使学生学会和掌握常微分方程的基础理论和方法，为学习其它数学理论，如数理方程、微分几何、泛函分析等后续课程打下基础；同时，通过这门课本身的学习和训练，使学生学习数学建模的一些基本方法，初步了解当今自然科学和社会科学中的一些非线性问题，为他们将来从事相关领域的科学研究工作培养兴趣，做好准备。
常微分方程是现代数学的一个重要分支,是人们解决各种实际问题的有效工具,它在几何,力学,物理,电子技术,自动控制,航天,生命科学,经济等领域都有着广泛的应用。
y''-2y'+2y=0
特征方程：r²-2r+2=0，
r=[2±√（4-4×2）]/2
=1±i；
齐次通解：y=e^x(C1cosx+C2sinx);
求特解，用变常数法：
y'=e^x[C1cosx+C2sinx+C1'cosx-C1sinx+C2'sinx+C2cosx]
=e^x[cosx(C1+C1'+C2)+sinx(C2-C1+C2')]
y''=e^x[C1cosx+C2sinx+C1'cosx-C1sinx+C2'sinx+C2cosx+C1'cosx-C1sinx+C2'sinx+C2cosx+C1''cosx-2C1'sinx-C1cosx+C2''sinx+2C2'cosx-C2sinx]
=e^x[2C1'cosx-2C1sinx+2C2'sinx+2C2cosx+C1''cosx-2C1'sinx+C2''sinx+2C2'cosx]
=e^x[cosx(2C1'+2C2+C1''+2C2')+sinx(-2C1+C2'-2C1'+C2'')]
代入
e^x[cosx(2C1'+2C2+C1''+2C2')+sinx(-2C1+C2'-2C1'+C2'')]-2e^x[cosx(C1+C1'+C2)+sinx(C2-C1+C2')]+2e^x(C1cosx+C2sinx)=2e^xcosx
[cosx(2C1'+2C2+C1''+2C2')+sinx(-2C1+C2'-2C1'+C2'')]-2[cosx(C1+C1'+C2)+sinx(C2-C1+C2')]+2e^x(C1cosx+C2sinx)=2cosx
cosx[2C1'+2C2+C1''+2C2'-2C1-2C1'-2C2+2C1)+sinx(-2C1+C2'-2C1'+C2''-2C2+2C1-2C2'+2C2)=2cosx
cosx[C1''+2C2')+sinx(-2C1'+C2''-C2')=2cosx
C1''+2C2'=2
-2C1'+C2''-C2'=0
上式积分：
C1'+2C2=2x，C1’=-2C2+2x
代入下式：
-2（-2C2+2x）+C2''-C2'=0
4C2-4x+C2''-C2'=0
C2''-C2'+4C2=4x
设C2=kx+b，C2'=k,C2''=0
0-k+4kx+4b=4x
k=1,-1+4b=0,b=1/4,C2=x+1/4
C1’=-2C2+2x=-2(x+1/4)+2x=-1/2
C1=-x/2
得非齐次特解：
y=e^x[(-x/2)cosx+(x+1/4)sinx]
非齐次通解=齐次通解+特解：
y=e^x(C1cosx+C2sinx)+e^x[(-x/2)cosx+(x+1/4)sinx]
=e^x[(C1-x/2)cosx+(C2+x+1/4)sinx]
=e^x[(C1-x/2)cosx+(C3+x)sinx]本回答被网友采纳