用定义证明极限存在的步骤包括：确定问题、确认定义、开始证明、证明完整性。
1、确定问题：首先要明确你要证明的是一个函数在某一点的极限是否存在。即要证明对于给定的函数和特定的点，存在一个实数L，使得当自变量趋近于给定的点时，函数值趋近于L。
2、确认定义：回顾极限的定义。根据极限的定义，对于函数f(x)在点a的极限存在，意味着对于任意给定的正数ε（ε>0），存在一个正数δ（δ>0），使得当0 < |x - a| < δ时，满足|f(x) - L| < ε。
3、开始证明：根据极限的定义，需要证明存在一个实数L，并找到对应的正数δ。这个过程可能因函数的不同而有所变化，但一般包含以下步骤：假设一个可能的极限值L。根据定义，给定任意的正数ε，你需要找到与ε相关的正数δ。可以尝试使用不等式、代数运算等方法来计算δ。通过推导和证明，展示当0 < |x - a| < δ时，满足|f(x) - L| < ε。
4、证明完整性：完成以上步骤后，你需要确保证明的完整性。要做到这一点，你可以回顾刚才的证明过程，确认每一个步骤都是清晰和正确的。
需要注意的是，证明极限存在可能是一个复杂而繁琐的过程，具体的证明方法取决于函数和点的特性。对于不同的函数类型，可能需要采用不同的技巧和方法来完成证明。因此，在具体证明时，你还需要根据问题的特点和要求进行具体分析和推导。
极限存在和不存在的定义
在数学中，有限的实数序列或实数函数f(x)对于x接近某一值时可能会趋于一个确定的实数L。我们称这个实数L为有限实数序列或函数f(x)在该值下的极限，如果整个实数序列或函数在该值下未趋向于任何有限实数，则称其为不存在极限。
极限存在的意义是在研究函数、序列行为的过程中，可以用有限的构造代替无限或无穷远距离的构造。通过极限可以更清晰简单地描述重要的特征和性质，从而更好地理解数学问题的本质。
需要注意，有时候可以在某个点附近定义出函数，但该点处不存在极限。也就是说，即使函数在这个点“接近”某个实数，但依然存在无法克服的不连续性或发散性因素。例如以a为中心的函数f(x)，它的左极限和右极限均存在，但两个极限不相等，这种情况下，函数在a点处不存在极限。
因此，在证明极限存在时，必须严格按照极限的定义进行，并确认函数在该点的连续性和单调性等特征。同时，还需要注意一些数学技巧和方法，如变形、代数运算、夹逼定理等，帮助确定极限的存在性。