怎样证明样本均值是总体期望值的极大似然估计值？

Question

如题所述

Answer 1

咱们分两个步骤来证明，第一步是找出指数分布的参数λ的极大似然估计是什么；第二步是证明该估计值是λ的相合估计。

第一步，

指数分布的概率密度函数如下，

假设X1，X2，...，Xn是该分布的样本值，因此似然函数（用L表示）的表达式如下，

为了求出参数的极大似然估计，令

由以上推导可以看出，n个抽样值的平均值（暂称为X平均，即样本均值），就是λ的极大似然估计。

第二步，

证明X平均是该参数的相合估计，主要是利用大数定律。大数定律表示，随着样本值的个数n的不断增大，样本值的平均值（即样本均值）接近该分布的期望值的概率会越来越大。对于本例来说，给出任意小的一个实数a，有下面的式子，

对于本例，EX=λ，因此，有

显然，上式是符合相合估计的定义的，因此，X平均作为一个样本统计量，就是λ的相合估计。而X平均又是λ的极大似然估计，因此，问题得证了。