正交矩阵a一定正交吗？

Question

如题所述

Answer 1

不一定。正交矩阵 a 的定义是满足 a × a^T = I 的方阵，其中 a^T 表示矩阵 a 的转置，I 表示单位矩阵。

如果 a 是正交矩阵，我们有 a × a^T = I，但并不能推出 a^T × a = I。两者并不等价。

事实上，对于正交矩阵 a，我们有以下性质成立：

a^T × a = I （即 a 的转置乘以 a 等于单位矩阵）

a × a^T = I （即 a 乘以 a 的转置等于单位矩阵）

这是正交矩阵的定义和性质。其中 a 和 a^T 是互为逆矩阵，因此两者的乘积等于单位矩阵。

需要注意的是，尽管 a 和 a^T 是互为逆矩阵，但在一般情况下，a 和 a^T 并不满足交换律，即 a × a^T 不一定等于 a^T × a。