初中数学竞赛几何难题（圆与三角形五心）

Question

已知四边形ABCD中AB=AC=BD且AC垂直于BD，垂足为O。I为三角形ABO内心。
M为AB中点。求证：MI垂直于CD且MI=1/2CD.
要添线方法，大致证明过程即可

Answer 1

过I分别作BI垂直AD于F,AI垂直CD于E.
首先由I在AD中垂线FB上,所以角IDB=角IAB.又AI平分角CAB
所以角IDB=角IAC
所以A,I,O,D四点共圆.即DI垂直AE.
而ID=IA可以知道三角形AFI,三角形IFD,三角形AID都是等腰直角三角形.
故FI=FD..........(1)
设MI交CD于P,则若证MPD=90的话,可结合角DFI=90,而去证明F,D,P,I四点共圆.
另一方面,四边形ABCD中,F,M,E都为边上的中点,所以再取CD中点Q,连接FQ,QE,EM,MF,因为他们都是各自三角形内的中位线.所以
FQ平行且等于EM等于CA的一半,
FM平行且等于EQ等于DB的一半.
又DB=AC 且DB垂直AC.
所以四边形FQEM为正方形.
所以FM=FQ..........(2)
且FQ垂直FM.即角QFM=角DFI=90
所以角DFQ=角IFM...............(3)

注意条件(1)(2)(3).这实际上已经证明了
三角形DFQ与三角形IFM全等(SAS)
所以MI=DQ=QC=CD/2

又由全等知道
角FIM=角FDQ(外角与不相临的内对角相等!!!!)
即F,I,P,D四点共圆
所以
角DFI+角IPD=180 ,,角DFI=90
所以角DPI=90
即MI垂直CD..

Answer 2

由于AC⊥BD，垂足为O，考虑解析方法
以O为原点，AC为y轴正方向，DB为x轴正方向，建立直角坐标系
设C（0，y1),A(0,-y2),则AB=AC=BD=y1+y2
设B（xB,0),D(-xD,0) AB=AC 由勾股定理知：
xB=（y1^2+2y1×y2)^0.5
xD=y1+y2-xB
接下来确定I点的坐标：
I为△ABO内心，即角平分线的交点
则BI为∠OBA角平分线
设BI与y轴交于H点（0,-Y)，则由角平分线上的点到两边的距离相等有：
HO=Hh (h为H到AB边的垂足）
直线AB的方程为：x/xB+y/yA=1 (yA=-y2)
由点到直线的距离公式有：点(0,-Y)到直线 x/xB+y/yA=1 的距离为： Hh=Y=|0/xB-Y/yA-1|/(1/xB^2+1/yA^2)^0.5
可得到：
Y=y2xB/(y1+y2+xB)
则直线HB的方程为：
x/xB+y/(-Y)=1
对于∠AOB的角平分线的直线方程：y=-x (与x轴夹角为135°，斜率为-1）
由以上两个角平分线方程可解出交点，交点即为内心I（xI,yI) 有： xI=Y×xB/(Y+xB)
yI=-Y×xB/(Y+xB)
M为AB中点，为（xB/2,yA/2)
向量MI为（xI-xM,yI-yM) 代入具体值为：
{（YxB-xB^2)/2(Y+xB),-(2YxB-y2（Y+xB))/2(Y+xB)}
易得向量DC为（-xB+y1+y2,y1)
以下验证垂直，向量MI与向量DC内积为：
MI×DC=（-xB+y1+y2）×（YxB-xB^2)/2(Y+xB)-y1×(2YxB-y2（Y+xB))/2(Y+xB)
=[-YxB^2+(y1+y2)YxB+xB^3-(y1+y2)xB^2-2Yy1xB+y2y1Y+y2y1xB] /2(Y+xB)
={xB^3-(y1+y2+y2xB/(y1+y2+xB))xB^2+[(y2^2×xB-y1y2xB)/(y1+y2+xB)+y1y2]xB+y1y2×y2xB/(y1+y2+xB)}/ 2(Y+xB)
=(y1^3xB+y1^2×y2xB+y1^2×xB^2+2y1×y2xB^2+y2^2×xB^2+3y1^2×y2xB+3y1×y2^2xB-(y1+y2)^2×xB^2-(y1+2y2)(y1^2+2y1y2)xB+y1y2^2×xB)/ 2(Y+xB) (y1+y2+xB)
=0
所以MI⊥DC
以下证明MI=1/2CD:
由向量内积有：|MI|^2=MI×MI |CD|^2=CD×CD
即证：4 MI×MI= CD×CD
代入值，不妨假设xB=1(定义xB的长度为一个单位)，即证：
4×{[（y2-y1-y2-1）/2(y2+y1+y2+1)]^2+[(y2-y2^2-y2×(y1+y2))/2(y2+y1+y2+1)]^2}
=(-1+y1+y2)^2+y1^2
代入y1+y2=(1+y2^2)^0.5，两边同乘（2+y2^2+2(1+y2^2)^0.5）,合并同类项有：
左=3y2^4-4y2^3+5y2^2-4y2+2-2y2^3×(1+y2^2)^0.5+4y2^2×(1+y2^2)^0.5-4y2×(1+y2^2)^0.5+2×(1+y2^2)^0.5=右
即证得4 MI×MI= CD×CD
MI=1/2CD

Answer 3

一般来说是用内心的性质来做
内心是三条角平分线的交点

Answer 4

额，有难度

Answer 5

设△ABE的内切圆切AB于N,切BE于P,切EA于Q.
∵AC⊥BD于E,
∴设AN=AQ=x,BN=BP=y,EP=EQ=IN=r.
由AE^2+BE^2=AB^2，得
(x+r)^2+(y+r)^2=(x+y)^2,
∴r(x+y)=xy-r^2.
而MN=|AM-AN|=|(x+y)/2-x|=|y-x|/2，IN⊥AB,
∴IM^2=IN^2+MN^2=r^2+(y-x)^2/4.
∵AB=BD=AC，
∴CE=y-r,DE=x-r,
∴CD^2=CE^2+DE^2=(y-r)^2+(x-r)^2
=x^2+y^2-2r(x+y)+2r^2
=x^2+y^2-2xy+4r^2
=(x-y)^2+4r^2
=4IM^2,
∴IM=CD/2.