初中数学竞赛几何难题(圆与三角形五心)

已知四边形ABCD中AB=AC=BD且AC垂直于BD,垂足为O。I为三角形ABO内心。
M为AB中点。求证:MI垂直于CD且MI=1/2CD.
要添线方法,大致证明过程即可

过I分别作BI垂直AD于F,AI垂直CD于E.
首先由I在AD中垂线FB上,所以角IDB=角IAB.又AI平分角CAB
所以角IDB=角IAC
所以A,I,O,D四点共圆.即DI垂直AE.
而ID=IA可以知道三角形AFI,三角形IFD,三角形AID都是等腰直角三角形.
故FI=FD..........(1)
设MI交CD于P,则若证MPD=90的话,可结合角DFI=90,而去证明F,D,P,I四点共圆.
另一方面,四边形ABCD中,F,M,E都为边上的中点,所以再取CD中点Q,连接FQ,QE,EM,MF,因为他们都是各自三角形内的中位线.所以
FQ平行且等于EM等于CA的一半,
FM平行且等于EQ等于DB的一半.
又DB=AC 且DB垂直AC.
所以四边形FQEM为正方形.
所以FM=FQ..........(2)
且FQ垂直FM.即角QFM=角DFI=90
所以角DFQ=角IFM...............(3)

注意条件(1)(2)(3).这实际上已经证明了
三角形DFQ与三角形IFM全等(SAS)
所以MI=DQ=QC=CD/2

又由全等知道
角FIM=角FDQ(外角与不相临的内对角相等!!!!)
即F,I,P,D四点共圆
所以
角DFI+角IPD=180 ,,角DFI=90
所以角DPI=90
即MI垂直CD..
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第1个回答  2010-05-23
由于AC⊥BD,垂足为O,考虑解析方法
以O为原点,AC为y轴正方向,DB为x轴正方向,建立直角坐标系
设C(0,y1),A(0,-y2),则AB=AC=BD=y1+y2
设B(xB,0),D(-xD,0) AB=AC 由勾股定理知:
xB=(y1^2+2y1×y2)^0.5
xD=y1+y2-xB
接下来确定I点的坐标:
I为△ABO内心,即角平分线的交点
则BI为∠OBA角平分线
设BI与y轴交于H点(0,-Y),则由角平分线上的点到两边的距离相等有:
HO=Hh (h为H到AB边的垂足)
直线AB的方程为:x/xB+y/yA=1 (yA=-y2)
由点到直线的距离公式有:点(0,-Y)到直线 x/xB+y/yA=1 的距离为: Hh=Y=|0/xB-Y/yA-1|/(1/xB^2+1/yA^2)^0.5
可得到:
Y=y2xB/(y1+y2+xB)
则直线HB的方程为:
x/xB+y/(-Y)=1
对于∠AOB的角平分线的直线方程:y=-x (与x轴夹角为135°,斜率为-1)
由以上两个角平分线方程可解出交点,交点即为内心I(xI,yI) 有: xI=Y×xB/(Y+xB)
yI=-Y×xB/(Y+xB)
M为AB中点,为(xB/2,yA/2)
向量MI为(xI-xM,yI-yM) 代入具体值为:
{(YxB-xB^2)/2(Y+xB),-(2YxB-y2(Y+xB))/2(Y+xB)}
易得向量DC为(-xB+y1+y2,y1)
以下验证垂直,向量MI与向量DC内积为:
MI×DC=(-xB+y1+y2)×(YxB-xB^2)/2(Y+xB)-y1×(2YxB-y2(Y+xB))/2(Y+xB)
=[-YxB^2+(y1+y2)YxB+xB^3-(y1+y2)xB^2-2Yy1xB+y2y1Y+y2y1xB] /2(Y+xB)
={xB^3-(y1+y2+y2xB/(y1+y2+xB))xB^2+[(y2^2×xB-y1y2xB)/(y1+y2+xB)+y1y2]xB+y1y2×y2xB/(y1+y2+xB)}/ 2(Y+xB)
=(y1^3xB+y1^2×y2xB+y1^2×xB^2+2y1×y2xB^2+y2^2×xB^2+3y1^2×y2xB+3y1×y2^2xB-(y1+y2)^2×xB^2-(y1+2y2)(y1^2+2y1y2)xB+y1y2^2×xB)/ 2(Y+xB) (y1+y2+xB)
=0
所以MI⊥DC
以下证明MI=1/2CD:
由向量内积有:|MI|^2=MI×MI |CD|^2=CD×CD
即证:4 MI×MI= CD×CD
代入值,不妨假设xB=1(定义xB的长度为一个单位),即证:
4×{[(y2-y1-y2-1)/2(y2+y1+y2+1)]^2+[(y2-y2^2-y2×(y1+y2))/2(y2+y1+y2+1)]^2}
=(-1+y1+y2)^2+y1^2
代入y1+y2=(1+y2^2)^0.5,两边同乘(2+y2^2+2(1+y2^2)^0.5),合并同类项有:
左=3y2^4-4y2^3+5y2^2-4y2+2-2y2^3×(1+y2^2)^0.5+4y2^2×(1+y2^2)^0.5-4y2×(1+y2^2)^0.5+2×(1+y2^2)^0.5=右
即证得4 MI×MI= CD×CD
MI=1/2CD
第2个回答  2010-05-22
一般来说是用内心的性质来做
内心是三条角平分线的交点
第3个回答  2010-05-22
额,有难度
第4个回答  2020-06-20
设△ABE的内切圆切AB于N,切BE于P,切EA于Q.
∵AC⊥BD于E,
∴设AN=AQ=x,BN=BP=y,EP=EQ=IN=r.
由AE^2+BE^2=AB^2,得
(x+r)^2+(y+r)^2=(x+y)^2,
∴r(x+y)=xy-r^2.
而MN=|AM-AN|=|(x+y)/2-x|=|y-x|/2,IN⊥AB,
∴IM^2=IN^2+MN^2=r^2+(y-x)^2/4.
∵AB=BD=AC,
∴CE=y-r,DE=x-r,
∴CD^2=CE^2+DE^2=(y-r)^2+(x-r)^2
=x^2+y^2-2r(x+y)+2r^2
=x^2+y^2-2xy+4r^2
=(x-y)^2+4r^2
=4IM^2,
∴IM=CD/2.
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